文章出自个人博客https://knightyun.github.io/2020/03/21/programme-float-point，转载请申明

二进制小数

谈浮点数前，先了解一些基础知识；对于整数的十进制与二进制转换不难，原理也简单就不再赘述，假如现在要进行转换的十进制数字是带有小数点的，转换方法就会稍微有点不一样了；为了使说明更浅显易懂，先来探究一下十进制小数中的奥秘；

以十进制数 3.125 为例，小数点以左为整数部分，右为小数部分，它也可以被更具体的拆解为以下形式：

这也是十进制数的特点，基数为 10，所以每一位都是与 10 的相应次方的乘积，指数也是有规律的，可以看成以小数点为对称轴，向左就是 10 的 0、1、2、3……次方递增，向右则是 10 的 -1、-2、-3……次方递减，如果换一种形式，那么在运算方面也具有对称性（乘法与除法互为逆运算），就是下面的形式：

这样，理解二进制的小数部分就容易了，已经知道整数十进制转二进制其实就是连续除以 2 取余数，那么根据上面的规律，小数部分看出逆运算，就可以总结为 连续乘 2 取整数，举例说明：

11.001 就是 3.125 的二进制小数形式，同时它也可以做如下拆解：

可以看到也是与十进制形式相对应的，只是基数从 10 换成了 2 而已；

定点数

当然，都知道机器码都是一堆 和 组成的数据，并没有小数点这个专门的符号，要表示数字 3125 还好说，但是 3.125 中间多出的这一点要怎么解决呢……一个很直接的方法就是把小数点应该在的位置焊死 -_-，比如 32 位的系统，规定小数点在 16 位和 17 位之间，那么根据 3.125 的二进制是 11.001，在 32 中的表现就是：

这就是 定点数 的规则干的事情，看着挺好，要是多用几次系统空间可能就 hold 不住了，不好之处明显就是花掉当前一半的数量级取表述小数部分，当然可以少划分几位给小数，但对小数好像不太公平，万一精度要求高呢，反过来呢对整数又不公平了，手心手背都是肉，得想办法解决才行；

浮点数

于是乎，浮点数横空出世；其实上述问题平时肯定都遇到过，比如记个帐，昨日净收入 元（@_@），肯定不想写这一堆 0 对不对（如果是真的咱愿意写 100 遍……），一般都会写 312 亿或者 元，重点就在后面这种科学计数表示法，人为了省力省纸省笔墨弄了个科学计数法，处理器也自然用上了浮点数，省空间；具体原理与表示方法后面会讲；

以 C语言为代表，其中就有浮点这一数据类型，比如单精度浮点 float（32 位），双精度浮点 double（64 位）等，可能平时也就直接声明和使用较多，没太关注底层实现的算法，其实也不太复杂，套用一种规则而已，下面开始介绍；

标准

目前关于浮点运算与表示，使用广泛的应该就是 IEEE 754（二进制浮点数算术标准）了，其主要内容如下：

该标准包含了多中位数，以 32 位为例：

总结就是：

• 第一位为符号位 s；
• 后 8 位为指数位 e；
• 最后 23 位为小数位 f；

64 位的规则是：

• 第一位是符号位 s；
• 后 11 位是指数 e；
• 最后 52 位是有效数字 m；

知道了这些还不能立刻套用上面的公式经行转换，还需要了解接下来的一些规定；

指数偏移值

浮点的二进制表示中指数位 e 的计算值（即转换成十进制后的值），要在实际指数值（十进制）的基础上加上一个 偏移值，标准中规定偏移值为 ，如 32 为中 e 是 8 位，所以偏移值为 127，64 位的就为 1023；所以 32 位指数实际值的范围为 ；

举个例，指数 e 的实际值为 -3，那么 32 位中加上偏移值就是 ，换算成二进制的 8 位指数位就是 ;

这种指数位偏移后的指数值，又叫做 阶码，因为科学计数法中的指数是有正负之分的，所以实际指数值加上一个正的适中偏移值，就可以使得浮点表示法中的指数位为无符号的整型（就是变成正整数），利于浮点数的比较大小，就是可以直接从浮点的二进制表示中，由高位向低位逐位进行比较（如果是负数二进制比较大小要复杂一点）。

表示方式

具体的表示方式会根据不同的情况而不同，主要有以下几种情况；

规约形式

即 e 的 8 位数字不是全部为 0 或者 1，此时 ，由于小数部分 f 的值在 0 到 1 之间，所以有效数 m 的值在 1 到 2 之间；

非规约形式

这种形式 e 的 8 位全部为 0，小数位 f 值不为 0，用于表示非常接近 0 的数，此时不再是 ，而是 ，即 m 值在 0 到 1 之间；实际上所有非规约的浮点数比规约浮点数更接近于 0；

零值

指数位 e 全为 0 的同时，小数部分（f）为 0，用来表示 （正负取决于 s 位的值）；且规定最小指数位编码（e = 0 时）的实际值应该取 （本来应该是 ）；

无穷大

如果 e 全为 1，且 m 全为 0，则表示无穷大（Infinity，正负取决于 s 位的值）；

NaN

如果 e 全为 1，且 m 不全为 0，则表示 （Not a Number，非数值类型）；

综合举例

后面的例子都以 32 位为例，其它位数根据标准类推；

先来看一个十进制转浮点，规约形式的例子，比如用之前的十进制数 3.125，转换为 32 位浮点二进制格式（ 开头的表示二进制数据）：

转换的大致流程总结如下：

十进制小数 –> 二进制小数 –> 浮点表示法 –> 二进制浮点

再举一个二进制浮点转十进制小数例子：

精度

以 32 位单精度浮点数为例，由于分配给有效数字的位数是 23 位，而整数部分默认是 1，它的位置就不用留了，所以小数部分就可以独占 23 位，在加上默认的一个整数位就是 24 位了，同理，64 位双精度浮点数的有效数就是 53 位（52+1），再进行一下算术运算：

上面的算式表示二进制下的这么多位数的实际值，对应到十进制中有多少位；结果表明，单精度浮点可以保证 7 位十进制的有效数字，双精度的则可以保证 15 位；

“浮”的原因

取名为浮点，那么到底“浮”在了什么地方，与定点数相比的优势又是什么的看来，其实其转换操作很类似于十进制中的科学计数法，而科学计数法的出现，就是为了实现能简短地书写较大的数，比如写作 ，就可以避免在 1 后面写那令人抓狂的 20 个 0 了；

同理，二进制中如果用定点数表示小数，那么 32 位的话就最多到 32 位有效数字，而用这种类似科学技术的浮点表示法的话，指数能表示到 100 以上，也就是 100 多位了，相信现在的 100 位系统也是稀有物种了吧；因此，浮点数有效的扩大了能表示的数据范围，科学计数法减少了书写量，浮点表示则是节省了存储空间；

另外也是由于科学计数本身的特性，以及指数偏移值，也就是 阶码 的应用，小数点也就不再像之前一样固定，具体位置会根据指数的大小最终“漂浮”到不同的位置，甚至到那遥远的地方……

来源：瑝琦