电磁场与仿真软件(31)

这篇开始介绍理想匹配层数学模型

理想匹配层,也可以叫做理想吸收边界, 按照字面意思理解:就是在这个边界上无反射,完美被吸收(在任何 角度和任意频率的电磁波),并且电磁波会在里面做衰减,不会透射出去.

先回顾下一些基本知识:

斯涅尔定理:

菲涅尔定理:

如果介质1和介质2都是LHI材料, 如果要满足

 （在边界上无反射),我们需要满足如下条件:

因为是LHI材料的

在各个方向都是一样的,所以TM或TE模式下只有特定角度下才有无反射情况出现(就是之前介绍的布鲁斯特角)

由此可见,理想匹配层不可能是LHI材料,

如果材料不是isotropic的话,我们就需要改写Maxwell equation,因为在各个方向上的介电常数/磁导率是不一样的,我们需要引入tensor的概念来描述(传输矩阵那篇有做过介绍),再写下:

在晶格里面,我们一般只看x,y,z三个方向介电常数,（介电常数只出现在对角线上) 定义有三种介质:

在anisotropic材料中,菲涅尔定理和斯涅尔定理改写成如下:

如果我们选择的材料

 可以得到:   

这样可以得到和入射角度无关的项;

如果a=b的话, 

  就可以满足无反射的条件了. 

所以理想匹配层的材料是uniaxial材料, 并且满足a=b=1/c

其中a,b,c是复数 

 , 是衰减项,因为电磁波需要在这层衰减掉,不能透射出去影响其他层.

上面的图只是在z方向做的计算,我们一般需要在x,y,z三个方向上都满足理想匹配层条件,我们先定义一个参数s：

整合后得到:

3D方向的PML层可以这么看:)

接下来需要把PML整合进Maxwell方程组:

没有整合理想匹配层Maxwell方程可以表示如下:

把PML边界加进去后,在含PML边界的Maxwell方程可以表示为:

然后我们用计算机计算[s]

 ,简单解释下上面这些方程的意思:

 

有两项,实部和虚部,实部用来进行阻抗匹配, 虚部是衰减项,

在x<0时,  

 ,没有虚部衰减项 

一般取值为1, 如果要衰减快一些的话,也可以取不同的值

x>0时,会出现随x增大而增大的衰减项;

下一篇会先简单介绍下FDM(Finite difference method)有限差分法基本原理 主要是泰勒展开式和矩阵算符.这个是仿真软件CST用的最基本算法. 

参考资料: Dr.Raymond Rumpf在youtube上的CEM课程 

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来源：Walt Lu