电磁场与仿真软件(28)

这篇会开始写能带理论,会从最基本的开始写起,CEM课程上的图太精简了.

感觉适合学过固体物理（要看懂固体物理,还必须要懂基本的量子力学ORZ..)的人看, 没有基础我觉得基本上是看不懂的.

先从最简单最基本的欧姆定律开始.

欧姆定律的推导基于如下假设: 

1. 金属中外层的自由电子可以在金属中自由移动;

2. 电子在金属中移动时,会和杂质,晶格缺陷有交互作用.同时,晶格本身自己会振动(即产生phonon) 也会和运动的电子产生交互作用;

3. 这些交互作用会使电子运动凌乱, 方向乱掉(专业上点就是乱撞消耗了动量,动能)；

4. 上述这些交互作用从统计力学上的近似就是：每经过时间

（弛豫时间)，电子的动量就会丢失（重置);

试想,如果电子在金属中畅通无阻的话,那么它会是时间的积分,速度一直会增加,这显然是不可能的;

接着进行下公式的推导:

电子在时间

内的平均速度为:

按照电流密度的定义,电流密度

为:

    欧姆的定律

其中n是自由电子浓度; 

 电导率

电子电量和质量都是固定的, 所以导电率会和自由电子的浓度, 弛豫时间有关.

关于弛豫时间多写一点:温度越高, 晶格振动的越激烈,则电子受到在晶格间运动受到的碰撞几率会变大,所以

会变小,电导率降低.

 上面就是简单记录了下欧姆定律的来源.

实际上 电子在晶格间运动,会比上述的假设复杂的多. 最重要的一点是:电子是在一大堆失去一些自由电子的离子（带正电的).电子是如何穿越数以亿颗有周期性排列离子(晶格)而导电的/p>

专业一点讲就是:电子是如何在周期性势场中运动,而不发生散射而穿过原子的.

结论就是上一篇所写的布洛赫定理: 在介质中的自由电子和真空中的自由电子的区别就是在于多了周期性调制

接下来会具体展开怎么理解这一件事~

先看下总结性的结果:

在自由空间中（没有位能),电子的能量是连续的,不存在能量量子化;

单原子模型中.因为原子核的束缚,电子的能量是量子化的（具体可以参考量子力学中用薛丁格方程解氢原子模型) -电子有3个自由度,还有角动量,角动量方向量子化;

在晶格中能自由移动的电子,则介于上述两者状态之间,有周期性位能束缚,束缚力又不是很强.所以会出现band gap. Band gap的大小,还有band内的具体情况,需要用布洛赫定理和薛丁格方程去具体求解.

tips:在求解这边有也有提到eigen value 和eigen function, 不过是微分/积分方程的,而不是矩阵的. 不过观念是类似的:一个函数经过一系列微分/积分算符运算后得到的结果是这个函数放大或缩小n倍..那么 这个函数称为”一些列微分/积分算符”的eigen function, “n”则被称为eigen value. 量子力学很多计算其实就是在找Hamiltonian算符的eigen value和eigen function.  

这部分资料随便找找都一大堆（推荐的是看 (美)基泰尔写的固体物理导论),我这边就不详细展开了.

只会粗略的谈谈对推导过程/结果的理解 .

在参考书上,有用简化模型,即Kroning-Penny model, 它最终会解出能量

和波数 之间的关系. 然后最终结论是:在周期性势场下,能带会分裂,分裂的数目取决于周期性势场的数目,而能带之间的间隙取决于能带的宽度和强度. 

网上找了一张图,可以更直观的理解我表达的意思：

 

有了能量

和波数 ,我们可以得到系统对外加激励(电场或磁场)的响应,简单理解就是如果外加的能量 (也可以理解为外加信号频率,能量 )在band gap里面,则这个信号马上会这个材料里做exp decade. 如果在energe band里面,则会对应一个k值.从能量 和波数 图上可以看到,不同的 能量 对应不同的k,这个就是色散. 

关于导体,绝缘体,半导体,半金属的能带特性也稍微展开一下（和CEM无关,只是都写到这边了,就简单提下)  价带和导带的定义参考资料固体物理导论.

导体: 有两种情况下都会是导体,

1是能带没有被电子所填满,比如Na, 3s层就填了一半电子, 那么电子很容易被电场激发;

2是3s层被填满了,比如Mg,但价带和导带overlap了；

半导体: 

价带和导带之间的gap较小, 几个eV,如果再加上参杂的话, energe gap会更小；

电子有穿隧效应,会有很少的自由电子能忽视energe gap而形成微弱导电性.这部分固体物理导论这本书上专门有一节有写专门计算绝缘体中载流子(电子和电子跃迁之后留下的空穴)浓度.

绝缘体:

 电子填满了价带, 而价带和导带之间的enerage gap很大.电子除非受到非常大的激励源,不然电子没办法跃迁到更高能阶.（按照泡利不相容原理,低能阶都被填满了,而稍高的能阶是不允许存在的,电子没办法自由移动,就不会有电流产生了)

能带理论就大概写到这里,下一篇开始会回归到CEM课程部分.

 

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来源：Walt Lu