拉格朗日插值法 【python】

一、插值

   设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个点

               a≤x0<x1<….<xn≤b

   已知，f(xk)=yk(k=0,1….n),在函数类P中寻找一个函数Φ(x)。作为f(x)的近似表达式，使满足：

             Φ(xk)=f(xk)=yk, k=0,1,2,3,4….n                （2）

  f(x)为被插值函数，Φ(x)为插值函数，x0,x1….xn为插值节点。（2）为插值节点。

二、拉格朗日插值法

   线性插值：拉格朗日插值法中最简单的是线性插值，我们先来了解线性插值函数的构成。在此基础上了解多次插值，

   已知两点（x0,y0）和（x1,y1），这里f(x0)=y0,f(x1)=y1,通过这两个点的插值多项式是一条直线，如下：

   (x-x1)/(x0-x1)*y0+(x-x0)/(x1-x0)*y1    可以看出当x=x0的时候，函数值y0,当x=x1的时候，函数值为y1.

  多项插值

     在线性插值中，仅仅用到了两个点，为了提高精度，我们希望用更多的点来提高精度。为此我们用三个点来做插值

    已知点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2).如下图所示，式1是两次的拉格朗日插值函数。式2是拉格朗日函数的一般形式。

          当x=x0的时候，l0(x)的值为1，l1(x)的值为0，l2(x)的值为0.最后函数值为y0.

    拉格朗日插值的函数的形式都是如式二所示。假设有n个点进行拉格朗日插值。则插值函数一共有n项，每一项都是ln(x)*yn (n的取值为1到n),当x=m的时候(m为1到n中的数时)，相应的ln(x)为一，其他项为0。函数值为ym.

    但是，我们应该如何求解ln(x)呢。以上面的三个点为例，在求l0的时候，分子为x减去除了x0的点的连乘，分母为x0减去除x0点的连乘。其他的项也是这样计算的。

   下面是拉格朗日插值法的效果图，可以看出，插值函数基本能和根号115重合。

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来源：宁悦