2014-2019高教社杯题型总结

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2014 本科组

A 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

解题思路

模型类型：本题属于物理模型，使用基本物理知识解题

题目一

本小题要求确定嫦娥三号着陆准备轨道的近月点和远月点的位置及嫦娥三号相应的速度大小与方向。
对于嫦娥三号在近月点和远月点处的速度大小及方向，在近月点和远月点高度已知的情况下，可依据机械能守恒和角动量守恒定律求解得到，并与题给附件中的近月点制动速度对比验证。
对于近月点和远月点的位置，可以用点在月球表面投影点的经纬度及点的高度进行描述。近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置，由于着陆轨道的具体轨迹尚未确定，仅根据着陆点的位置并不能确定近月点和远月点的精确方位。因此，考虑能量消耗最小的基准上，可以通过设定以下理想状态对模型进行简化：
（1）假设嫦娥三号准备软着陆轨道沿月球经线绕行，软着陆过程近似于沿经线运动，运动过程中仅改变纬度大小。
（2）假设主减速阶段的水平路程近似为软着陆的水平路程。
由以上两条假设及查阅文献获取主减速阶段航程，并由此初步确定近月点和远月点的近似位置。当问题二中设计出了软着陆控制策略及着陆轨道后，通过求解在该控制策略下的水平路程，对近月点和远月点的位置进行修正，从而得到近月点和远月点的精确位置。

问题一模型

对于问题二，考虑用料最省、加工方便作为目标，以各空槽长度不能超出木条、桌子在弯折过程中桌腿边缘不能相交、桌子的稳固性作为约束条件，利用 Matlab 编程,求得折叠桌弯折角θ ，钢筋的初始位置到木条末端的距离 s ，木板的长度 L ,并将结果代入问题一中相应模型，即得长方形木板长度和折叠桌的最有设计加工参数…

2.2 依据影子顶点坐标来确定直杆所处地点的分析

问题 2 要求根据直杆在水平地面上太阳影子的顶点坐标给出其所处的可能地点。可将其视为一个优化问题，核心在于目标函数的确定。在已知测量日期和时间的前提下，在全球范围内找出较优的与直杆影子坐标相符合的地点（经纬度坐标）。首先从优化目标入手，对于直杆影子的确定，我们可将题目中所给附件中所给出的影子坐标转化为其它条件来利用。每个时间点的影子坐标都对应于一个影长，每 3 分钟的时间间隔也对应于一个影子方向的变化角度，这两个条件可同时利用来确定影子的坐标。另一方面，地球上每个位置（经纬度坐标）、日期、时间段的太阳影子也会对应也可对应出固定高度直杆的影长及影子方向的变化角度。使每个地点的影子长度和影子方向变化角度与实测值间的差值达到最小，则该位置即为可能的直杆所处地点。对于搜索可能符合地点的方法，考虑通过多次搜索来减小搜索范围，逐步限制条件，进而找到较优解。

2.4 确定视频拍摄地点与日期的分析

视频中的直杆影子变化只是平面下的图像，它与实际空间中物体的位置等有很大不同。考虑运用计算机图像处理中透视和投影的相关知识进行分析。难点在于如何将视频图像中直杆影子的顶点坐标转化为实际的顶点坐标，即透视与投影知识的灵活运用。首先，需要对题目中所给附件视频进行处理。每隔一定时间（例如 3 分钟）取出视频中直杆影子的顶点坐标，用来对其进行转化。这样，便将问题简化至第2 问的程度。所以仍考虑建立优化模型，通过多次搜索来减小搜索范围，逐步限制条件，进而找到视频拍摄的可能地点和日期。

2016本科组

A 系泊系统的设计

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

问题二

问题二要求在问题一的假设下，计算 36m/s 时系泊系统的多项指标，并在此风速下调节重物球的质量，使得钢桶倾斜角度和锚点的锚链与海床的夹角在规定的范围内。由于基本假设没有改变，因此直接将风速 36m/s 代入即可求得结果。此时，根据求解得到的结果判断钢桶的倾角是否超过了 5°，锚链末端切线与海床的夹角是否超过 16°，并对重物球的质量进行调整，是系统满足要求。

B小区开放对道路通行的影响

2016年2月21日，国务院发布《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》，其中第十六条关于推广街区制，原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步开放等意见，引起了广泛的关注和讨论。

除了开放小区可能引发的安保等问题外，议论的焦点之一是：开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何。一种观点认为封闭式小区破坏了城市路网结构，堵塞了城市“毛细血管”，容易造成交通阻塞。小区开放后，路网密度提高，道路面积增加，通行能力自然会有提升。也有人认为这与小区面积、位置、外部及内部道路状况等诸多因素有关，不能一概而论。还有人认为小区开放后，虽然可通行道路增多了，相应地，小区周边主路上进出小区的交叉路口的车辆也会增多，也可能会影响主路的通行速度。

城市规划和交通管理部门希望你们建立数学模型，就小区开放对周边道路通行的影响进行研究，为科学决策提供定量依据，为此请你们尝试解决以下问题：

1. 请选取合适的评价指标体系，用以评价小区开放对周边道路通行的影响。

2. 请建立关于车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响。

3. 小区开放产生的效果，可能会与小区结构及周边道路结构、车流量有关。请选取或构建不同类型的小区，应用你们建立的模型，定量比较各类型小区开放前后对道路通行的影响。

4. 根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出你们关于小区开放的合理化建议。

问题分析及模型

问题一

由于题目中没有数据的支持，而且用以评价小区开放对周边道路通行的影响指标因素过多，我们考虑到应用聚类分析法和层次分析法来对各项指标进行决策。首先我们利用聚类分析法将单个指标因素按照关联度和相似度分为互不影响的三大类：一是影响主路通行能力[1]的因素，包括车道数，道路面积率，拥堵系数，路旁干扰系数以及区内支路饱和度[2]；二是影响安全性的因素，包括交叉路口个数以及车辆种类；三是影响便捷度的因素，包括可达度[3]和抗堵塞能力。由此，我们列出了三个评价指标中的 9 个影响因素。其次考虑到影响因素过多且有些次要因素对主路通行能力影响不大，因此我们用
层次分析法来进行对影响因素的决策。在构造出评价矩阵之后，判断其一致性，最终得出适合评价小区开放对周边道路通行的影响的三个评价指标以及影响指标的 6 个因素，即车道数、拥堵系数、路旁干扰系数、区内支路饱和度、交叉口个数以及可达度。确立评价指标之后，进行评价体系的建立，其中小区对周边道路总影响由其对通行能力的影响，对安全性的影响以及对便捷度的影响共同决定。

问题二

我们利用问题一的评价指标体系，将主路通行能力、安全性和便捷度作为评价指标，将影响各个指标的因素作为对车辆通行的总影响。我们先依次通过构建模型来分析这三个指标的变化，最后利用模糊综合评判模型进行影响程度的判定。首先，对于道路交通能力的影响，我们知道，车道数、拥堵系数，路旁干扰系数、区内支路饱和度这四个因素都是直接影响车辆密度和车辆平均速度，进而间接影响道路通行能力。因此，我们将能够准确体现车辆密度和平均速度的“交通流”作为道路通行能力的主要描述参数。进而，我们结合元胞自动机模型[4]，给出 NS 规则[5]下车辆密度和车辆平均速度，并据此求出车辆密度与车辆平均速度之间的关系图，以此来分析车辆通行情况。我们考虑到，小区开放与否会改变模型中的初始参数，进而影响车辆密度和车辆平均速度。据此，我们对初始参数进行改动，通过对比，便可以得出小区开放对周围道路交通流的影响。其次，对于安全性的影响，我们知道交叉路口是导致车祸等事故的多发地带，在小区开放前后，交叉口个数增多，因而会导致安全性有所降低。我们通过研究交叉路口的个数变化，建立交叉口车辆通行模型，定义潜在危险[6]，定量分析小区开放对安全性的影响。接下来，对于便捷度的影响，我们通过可达度来体现便捷程度。我们通过建立最短路模型求出从小区一端到达小区另一端的最短路径之和，进而得到可达度，定量分析可达度的大小，得出小区开放对便捷度的影响。最后，我们建立模糊综合评判模型，对车辆通行能力、安全性和便捷度三个因素集建立了关于车辆通行的数学模型，将小区的结构、面积、各支路情况以及周边路况作为输入参数，即可得到小区开放对道路通行能力、安全性和便捷度的影响。

问题四

通过对问题二、三的研究和对小区实例的分析，我们从中分析总结小区开放与否的相关规律，然后结合分析小区结构及周边道路结构、车流量等因素，通过车辆通行能力、安全性以及便捷度等角度向城市规划和交通管理部门提出关于小区开放与否的合理化建议。

2017本科组

A CT系统参数标定及成像

CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。

CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。

请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：

(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。

(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。

(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

(1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为problem2.xls和problem3.xls）

问题二、三

CT系统的工作原理是由投影重建图像，针对平行束系统的重建算法包括直接反投影法、滤波反投影法、卷积反投影法等，相关文献中已有详细论述。针对问题二应以投影信息与标定所得系统参数作为输入，通过逆Radon变换重建图像，并对图像进行滤波去噪处理，以得到未知介质的信息。

B 拍照赚钱”的任务定价

“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。

附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题：

1. 研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。

2. 为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。

3. 实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响/p>

4. 对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。

问题的分析及求解模型

问题一

问题一首先要求我们根据一项已完成项目的任务数据中的每个任务的位置、定价和完成情况来分析任务定价规律。在经济学中，一个竞争性市场上的商品价格规律受到供求关系影响而上下波动，因此，要分析定价规律，便需要找到影响定价的因素，对于每一个任务而言，它的定价与完成情况会受到其它任务与会员的影响，我们将从这两大方面考虑任务定价的影响因子，定义影响任务定价的四大影响因子。首先，我们将利用任务数据的经纬度与定价信息来进行图像分析观察出定价的定性规律，在此基础上，将标定任务位置的空间数据进行离散化处理，并根据任务的位置分布进行 K-Means 聚类分析，结合附件一给出的数据将影响因子量化。最后，利用灰色关联度矩阵计算各影响影响因子与定价之间的相关度，定量分析任务的定价规律。通过比较未完成任务与已完成任务的相关度矩阵之间的差异找出任务未完成的原因。

问题三

问题三考虑到将位置比较集中的任务联合打包分布，因此，首先应当基于任务的经纬度信息，给出一个合理的打包方案，即如何判断哪些任务应当被打包发布。我们利用聚类分析法的思想，依据任务的地理坐标对任务进行分类，确定一个合理的打包方案。

依据打包方案将任务进行联合打包后，问题三实质上就可以转化为大致等同于问题二的双目标优化定价模型，要想对前面的定价模型进行修改，首先要明确将任务打包处理后会对哪些因素产生影响从而影响到定价。经分析可知打包处理后的任务与之前的任务相比，任务与会员之间的距离矩阵、任务对会员的吸引度矩阵、任务吸引度阈值均会发生改变，从而影响到优化定价模型的约束条件，最终将影响目标函数的求解，即定价方案。我们基于双重聚类分析给出的打包方案求解出新的距离矩阵、吸引度矩阵以及阈值，对前面的定价方案进行修改，给出任务联合打包发布情况下的优化定价方案。

2018本科组

A 高温作业专用服装设计

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，将体内温度控制在37oC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：

(1) 专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75oC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。

(2) 当环境温度为65oC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。

(3) 当环境温度为80oC时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。

问题分析及模型求解

问题一

高温作业下的专用服装分为四层，对于第四层考虑其服装材料的参数值如密度，比热容以及热传导率可认为是空气层。体内温度为 37℃的假人放置在 75℃高温实验室中，皮肤温度根据热传导可以得出所有层织物以及空气在初始时刻的温度为 37℃；75℃的高温热源是恒温源；通过分析附件 2 中皮肤外侧温度随时间的变化，最后在 1148 秒左右温度维持在 48℃，之所以会维持一个稳定值，是因为假人体内的温度维持在 37℃，这使得假人皮肤外侧的温度会维持一个稳定值。假人体内相当于一个不断吸热的耗散源，但同时又需维持自身的恒定温度。对于问题一是首先分析热量传输的过程，在专用服装的阻热过程中主要考虑热传导，在间隙层中考虑空气的热量传输，又因为查阅相关文献【2】得知在间隙层厚度小于 6.4mm 时主要考虑热传导过程不考虑热对流以及热辐射过程。本问题中由于各层阻热各向同性，所以仅考虑一维情况下的温度分布。基于此根据能量守恒定律以及 Fourier 实验定律可以得出四层介质的热传导方程，再根据初始时刻的温度分布确定方程的初始条件，这里选取初始时假人体内温度 37℃当作所有层的初始温度。其次根据温度场的连续性以及热传导规律确定衔接条件。再根据最终高温恒温热源以及低温恒温热源确定方程的边界条件。考虑到最终求得的是温度场的分布，应该包括空间以及时间分布，并且这四组偏微分方程求不出解析

表达式，所以利用有限数值差分法进行数值求解。最终，根据附件 2 中的表面皮肤温度结合方程，得出低温恒温热源的热交换系数，并且需要在接下来的两问中作为低温恒温热源的参数。

问题二

考虑到问题中附件 1 给出的专用服装材料的参数值，可以发现Ⅰ层和Ⅲ层的热导率较小因而阻热能力较好并且厚度都是保持不变，所以第Ⅰ、第Ⅲ层需要较高的经济成本，相比于第Ⅱ层的介质热导率较高阻热效果相对较差，因此可以通过改变第Ⅱ层的厚度来进行调节温度场的分布，从而使皮肤外层的温度在一定范围内且时间上满足一定条件。因此以第Ⅱ层介质的厚度为目标函数，通过第一问中标定的参数热交换系数，列出新的偏微分方程边界条件以及温度场的约束条件，使得第Ⅱ层介质的厚度最小。在具体求解中由于解偏微分方程需要进行数值逼近，因此选用优选法进行快速搜索最终确定最小的厚度，此即问题二中最优的厚度

来源：WAREY~