电磁场与仿真软件(27)

这篇会写布里渊区和一些其他定理

先写布里渊区定义

取某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将把倒格子空间分割成许多包围原点的多面体,其中离原点最近的多面体区域为第一布里渊区,次近的多面体第一布里渊区表面间的区域为第二Brillouin区，其它以此类推。

做垂直平分面是为了满足布拉格散射定理,按照上一篇缩写的散射条件,可以看到:

只要波矢落在第一布里渊区边界上，就可以满足布拉格反射条件. 然后在能带的时候,第一布里渊区也是很重要的.

布洛赫定理（Bloch定理):

描述电子运动的Schringer方程为

这个是针对单颗电子而言的, 但在材料中,有无数颗电子,想完整描述它们基本是不可能.但材料中原子排列都是有周期性的(之前几篇介绍的）,其实我们只要研究一个unit cell就可以了.

理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型. 

在上面式子中的V(r)是周期性势场,具有平移不变性. 

在周期性势场中运动的电子的波函数可写成布洛赫波的形式：

u是晶格的周期函数,只取决于材料本身, 

 

在CEM课件中,是直接研究电磁波的,遵循Bloch定理:

对于周期性材料而言, 我们可以得到如下两个公式:

是lattice vector, p,q,r是整数,

这两个公式是基于材料的周期性得到的（空间上的周期性,和时间上的周期性相似)

还有关于介电常数,稍微展开介绍下:

在之前介绍中,介电常数是用相对介电常数

和损耗因子（先不考虑)组成的复数.这个是宏观上的观念. D= E 

如果从原子结构上来考虑,   

, 其中P是极化强度. 产生极化的原因是一个原子核在其核上带正电,,而周围则有一些负电荷. 当处于电场中时,核会被吸引,而电子则被吸引到另外一方.电子的轨域变形了,就产生了一个小的电偶极子.  弱电场对轨域的影响相对较小,强电场较大,因此P也是一个和E成正比的项.     其中 是极化率 和原子种类排布有关,所以从原子角度来看,      是周期性的,也就是 是周期性的.  极化系数

 

需要注意的是,我们在处理一般射频信号时,一般是直接算的是材料整体的介电常数/磁导率就可以了. 这个是因为通讯频段用的电磁波的波长(mm或cm波)远大于原子间的间距(

), 电磁波根本看不到原子内部的周期性结构.

但如果是入射的是X-ray或波长更短的

射线或者物质波(电子束),就会看到这些原子结构. 这个时候就必须考虑材料内部原子结构的影响.最简单的例子就是布拉格绕射  从量子力学的角度来看,因为电磁波在这些周期性势场里传播,只会允许特定的信号传播或其他信号则发生散射.

下一篇会展开写能带理论.

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来源：Walt Lu