史上最接近上帝的方程！神秘的数字4.669，目前没有人能解开这个谜语……

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爆炸吧知识

来都来了，不逛逛实在是不合理！结果这一逛，还真让超模君发现了好东西。

但有一个问题，兔子的数量不可能永远成倍增长，它受到一定的约束，所以我们需要在方程式中添加（1-X）项以表示环境的约束。

在此图中，使用t代替n

资料来源：Wikimedia Commons

当把这个图更细致化后：

单值均衡人口

并且，r超过3时会发生一些有趣的事情：

当我们保持r = 3.4时，平衡总体保持在0.84和0.51之间波动。在那之后，如果永远不稳定到一个恒定值，它就会在两个值之间来回振荡。一年数量增加，第二年数量减少，再一年又增加……

随着时间的流逝，均衡总体将分为4个值，种群在4年周期后重复。

我们可以看到，几年之后，它不会增加或者减少很多，几乎固定为0.57，即最大可能数量的57%，种群数量达到平衡。

由于周期的长度增加了一倍，因此称为周期倍增分叉。随着r的增加，将导致周期为8、16、32，而当r达到约3.57时，则是完全混乱。这样，种群数量根本就不会稳定下来。

物流分叉图

资料来源：Wikimedia Commons

现在，即使我们更改了初始种群，迟早还是会达到平衡，平衡数仅取决于r的值。如果r较低，则平衡总体将降低；如果r小于1，则总体早晚将变为0。

你可能在想，它看起来像是一个分形。

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

事实上确实如此。

Mandelbrot集

资料来源：Wikimedia Commons

而上面的那些“分叉图”确实也是曼德布罗集的一部分。

同理，如果C＝ 3，则在第一次迭代之后，Z＝ 3。在第二次迭代之后，Z???＝ 12。在第三次迭代之后，Z???＝ 147。无限次迭代后，Z???将为无穷大。因此，3不会成为曼德布罗集的一部分。

曼德布罗集的图片仅显示了导致迭代方程爆炸的数字与导致迭代方程爆炸的数字之间的边界。曼德布罗集没有显示的是这些方程如何保持有限。因此，当迭代了数千次方程，并在迭代实际用到的z轴上进行了绘制。结果发现，曼德布罗集的侧视图实际上是分叉图。

“ Libchaber使用一个简单的笔式绘图仪来记录温度，该温度由嵌入顶表面的探针测量。在第一次分叉后的平衡运动中，任一点的温度或多或少保持稳定，并且笔记录一条直线。随着更多的加热，更多的不稳定性开始出现。每个辊上都会出现一个扭结，扭结稳定地来回移动。此摆动显示为温度变化，在两个值之间上下波动。现在，笔在纸上画出一条波浪线。”

Libchaber用盒子顶部的探针测量了内部流体的温度。他看到温度周期性升高。这类似于逻辑方程收敛到单个值时。但是随后，随着温度升高，可以在那些滚动汽缸上以原始频率的一半看到摆动。温度峰值也在两个不同的高度之间来回移动。他不断提高温度，一次又一次看到周期翻倍。

到了这一步，你有没有觉得“分叉图”有点恐怖的意味了恐怖的还在后边！

物理学家Mitchen Feigenbaum将每个分叉部分的宽度除以下一个。这个比例接近于一个数字，是4.669。

在我们今天的课堂上，我们教简单的公式，简单的结果，因为这样很简单，很有道理。也许我们应该至少教一些，让更多的人知晓费根鲍姆常数，在这一领域进行更多的研究，只有这样，我们才能发挥其真正的力量，解开这个“上帝的指纹”之谜。

怎么样不是一点都不难，是不是觉得数学好神奇学生绝对能看懂！

写在最后

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作者简介：超模君，数学教育与生活自媒体博主，新晋理工科奶爸。出版过《芥子须弥 · 大科学家的小故事》；《数学之旅·闪耀人类的54个数学家》。后续数学文化创意多多，欢迎关注认识！

本文系网易新闻·网易号“各有态度”特色内容

参考来源：Veritasium·YouTube

翻译：超级数学建模

PS：为了让小学生都能明白，内容有修改

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来源：数据与算法之美