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作者：[左手の明天]
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“优化”是生活中经常使用的词：坐出租车时希望司机不绕弯路、走优化路线；逛超市时考虑各种优惠活动，希望获得最大优惠；企业推出新产品要综合考虑成本与市场吸引力，对资金进行优化配置，等等。 这些问题都是“最优化问题”，也是数学建模中的典型问题，解决最优化问题的数学方法就是“最优化方法”。

最优化方法的出发点是系统思维，最优化方法的基本思路是在一定的约束条件下，保证各方面资源的合理分配， 最大限度地提升系统某一性能或系统整体性能，最终实现最理想结果。运用最优化方法建立并求解数学模型，主要包括以下步骤：

（1）明确目标，分析问题背景，确定约束条件，搜集全面的客观数据和信息；
（2）建立数学模型，构建变量之间的数学关系，设立目标函数；
（3）分析数学模型，综合选择最适合该模型的优化方法；
（4）求解模型，通常借助计算机和数学分析软件完成；
（5）对最优解进行检验和实施。

目录

数学规划的一般模型

MATLAB 求解优化问题的主要函数

模型及基本函数

优化函数的输入变量

优化函数的输出变量

无约束最优化问题

数学描述

解析解法和图解法

数值解法

全局最优解和局部最优解

带约束最优化问题

线性规划问题

情况一

情况二

二次规划问题

非线性规划问题

定义

求解算法1：间接法

求解算法2：直接法

求解算法3：最速下降法（steepest descent method）

Matlab求解步骤

示例

0-1规划问题

钢管的订购与运输问题

问题

问题1的基本模型和解法

总费用最小的优化问题

基本模型：二次规划

Floyd算法求解步骤 

最优化方法在数学建模中的应用 

梯度下降法

惩罚函数法

遗传算法

蚁群算法

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数学规划的一般模型

其中，x~决策变量；f(x)~目标函数；gi(x)≤0~约束条件

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MATLAB 求解优化问题的主要函数

模型及基本函数

优化函数的输入变量

优化函数的输出变量

---

无约束最优化问题

数学描述

解析解法和图解法

 举例：用解析和图解法求解下列方程

数值解法

 命令形式1：

功能：与fsolve()中的参数控制形式类似。

注：若函数时多元的，要表达成向量的形式。

命令形式2：

功能：与fsolve()中的参数控制形式类似。

举例：

全局最优解和局部最优解

一元函数极小

多元无约束极小

举例1：(初值的影响力)设目标函数为

 试观察不同的初值得出的最小值。

举例2：对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大/p>

建立模型： 

设剪去的正方形的边长为x,，则水槽的容积为：

建立无约束优化模型为：

模型求解：

先编写M文件如下:

调用fminbnd:

运算结果为：

即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大，最大容积为2立方米。

---

带约束最优化问题

线性规划问题

目标函数：

 约束条件：

情况一

目标函数：

其中，C为价值向量

约束条件：

 其中，b为资源向量；X为决策变量向量

其中：

 

命令形式1：

功能：

• C,A,b的意义如矩阵表示里参数；
• v1,v2表示决策变量的上界和下界（其维数可以小于X,但表示前几个分量的上下界）；
• x0表示初始值；X时输出最优解；
• lag是lagrange乘子，维数等于约束条件的个数，非零的向量是起作用的约束条件；
• how给出错误信息：infeasible(无可行解)，unbounded(无界解)，ok(求解成功).

 举例：

情况二

目标函数：

 约束条件：

命令形式2：  

功能：各个参数的解释如前，若各个约束条件不存在，则用空矩阵来代替。

• x: 解
• f: 最优值
• flag：大于零表示求解成功，否则求解出问题
• c：求解信息
• x0：搜索点的初值
• opt：最优化控制项

举例1：

举例2：某车间生产A和B两种产品，为了生产A和B，所需的原料分别为2个和3个单位，所需的工时分别为4个和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可获得利润6元和4元。应当生产A和B各多少台能获得最大利润/p>

分析：

 模型建立：

设生产A产品x1 台，生产B产品 x2台

 模型求解：

举例3：（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为 800 和 900，三种工件的数量分别为 400、600 和 500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低/p>

来源：左手の明天