树链剖分详解

转载请注明出处，部分内容引自banananana大神的博客

别说你不知道什么是树╮(─▽─)╭（帮你百度一下）

前置知识： dfs” role=”presentation” style=”position: relative;”>dfs$dfs$$dfs$序 LCA” role=”presentation” style=”position: relative;”>LCA$LCA$$LCA$ 线段树

先来回顾两个问题：

1，将树从x” role=”presentation” style=”position: relative;”>x$x$$x$到y” role=”presentation” style=”position: relative;”>y$y$$y$结点最短路径上所有节点的值都加上z” role=”presentation” style=”position: relative;”>z$z$$z$

这也是个模板题了吧

我们很容易想到，树上差分可以以O(n+m)” role=”presentation” style=”position: relative;”>O(n+m)$O(n+m)$$O(n+m)$的优秀复杂度解决这个问题

2，求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和

lca大水题，我们又很容易地想到，dfs” role=”presentation” style=”position: relative;”>dfs$dfs$$dfs$ O(n)” role=”presentation” style=”position: relative;”>O(n)$O(n)$$O(n)$预处理每个节点的dis” role=”presentation” style=”position: relative;”>dis$dis$$dis$（即到根节点的最短路径长度）

然后对于每个询问，求出x,y两点的lca，利用lca的性质 distance(x,y)=dis(x)+dis(y)−2∗dis(lca)” role=”presentation” style=”position: relative;”>distance(x,y)=dis(x)+dis(y)/span>2/span>dis(lca)$distance ( x , y ) = dis ( x ) + dis ( y ) - 2 * dis ( lca )$ 求出结果

时间复杂度O(mlogn+n)” role=”presentation” style=”position: relative;”>O(mlogn+n)$O(mlogn+n)$$O(mlogn+n)$

现在来思考一个bug” role=”presentation” style=”position: relative;”>bug$bug$$bug$：

如果刚才的两个问题结合起来，成为一道题的两种操作呢/p>

刚才的方法显然就不够优秀了（每次询问之前要跑dfs” role=”presentation” style=”position: relative;”>dfs$dfs$$dfs$更新dis” role=”presentation” style=”position: relative;”>dis$dis$$dis$）

树链剖分华丽登场

树剖是通过轻重边剖分将树分割成多条链，然后利用数据结构来维护这些链（本质上是一种优化暴力）

首先明确概念：

重儿子：父亲节点的所有儿子中子树结点数目最多（size” role=”presentation” style=”position: relative;”>size$size$$size$最大）的结点；

轻儿子：父亲节点中除了重儿子以外的儿子；

重边：父亲结点和重儿子连成的边；

轻边：父亲节点和轻儿子连成的边；

重链：由多条重边连接而成的路径；

轻链：由多条轻边连接而成的路径；

比如上面这幅图中，用黑线连接的结点都是重结点，其余均是轻结点，

2-11就是重链，2-5就是轻链，用红点标记的就是该结点所在重链的起点，也就是下文提到的top” role=”presentation” style=”position: relative;”>top$top$$top$结点，

还有每条边的值其实是进行dfs” role=”presentation” style=”position: relative;”>dfs$要避免进入小数陷阱，大和小出现的概率都是一样的，都是50\%，它们两者之间没有任何的关系，两者是独立并随机的。有人说前面都是出的大，后面出小的概率很大，我前面没有猜中，后面一定会猜中，这其实是赌徒谬论。$
2.当你看到 “计算机行业人均年收入超过50万元” 的新闻是否会焦虑呢br> 人均年收入的指标是不可靠的。收入低的人被薪资高的人给平均了，为平均值陷阱。在数据分析中，要看平均值指标的，把数据进行分组。
3.每一次都错过公交车的你是真的很衰吗br> 墨菲定律所产生的现象，越不想发生的事情，在脑海中的印象就越深刻，会加重我们的期望，出现的概率就会越大。每天去等公交，车正常进出，正常上车的话，你对它的印象就比较浅；如果某天公交车等了一个小时都没来，你就会印象特别深刻。
统计学在生活中无处不在，给我们观察世界的一个全新的视角。

统计学的介绍

定义：统计学是通过收集、整理、分析、描述数据等手段，以达到推测所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性学科。统计学的核心是数据。
收集数据可以用爬虫，整理数据用pandas，从几百万行中整理出需要的部分，分析数据找到规律，用可视化的形式呈现出来，描述数据也可以以可视化的形式呈现。

统计学的分类

统计学不仅可以推断数据的本质，还可以做预测。

描述统计学

定义：描述统计学是指运用制表和分类，图形以及计算概括性数据来描述数据特征的各项活动。
描述数据的集中趋势，离散程度，分布形态等都是描述统计学要做的事情。
股票分析：
1.采集股票数据，对数据进行加工处理；2.计算因子值。3.概括因子的分布特征、图表展示出来，得到相关的信息。
如果用历史的数据去推断出股票的未来走势，就要用到推断性统计学。

推断统计学

定义：推断统计学是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法，是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征做出概率形式表述的推断。包括估计、假设检验、方差分析、相关分析、回归分析等。

描述性统计学是借用现有的数据，来计算指标，衡量数据的结果，常用的均值、中位数、标准差、方差等，而推断性统计学是以样本数据来推断总体，涉及到理和函数，x轴，y轴等。

数据分析用到的比较多的是描述性统计学的知识，机器学习。机器学习、深度学习大部分用到的是描述性加推断性统计学的知识。
二者是相辅相成的，没有好坏的区别，要看你所利用数据进行的分析。

统计学的基本概念

数据

统计学研究的核心是数据。
1000(元)、“女性”、“一年级”、[2000,4000] 等均为数据，数据不仅仅是阿拉伯数据，还有分类型的数据等。

统计学数据的分类

例题2：计算一下6个数的中位数：980，1400，1000，1200，800，1650

下四分位数： Q i Q_i Qi/span>
表示符号：
计算： n 4 frac{n}{4} 4n/span>
上四分位数：
表示符号： Q u Q_u Qu/span>
计算： 3 n 4 frac{3n}{4} 43n/span>
例题1：求以下数值的上四分位数和下四分位数。980 1400 1000 1200 800 1650 1100 1050 1500 950 900 1250

算术平均数

数据的和与数据个数之比，表示的符号为： x ˉ bar{x} xˉ
简单算术平均数(根据未分组数据计算的)：
x ˉ = x 1 + x 2 + . . . + x n n = ∑ i = 1 n x i n bar{x}=frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}=frac{sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n} xˉ=nx1/span>+x2/span>+…+xn/span>/span>=n∑i=1n/span>xi/span>/span>
加权算术平均数(根据分组数据计算的)：

每个月的数据都是在1000左右，但是其中一个月的数值为10000，影响到整体的数据。
练习：计算一下平均消费。

注意：算术平均数不适用于乘数级或者指数级增长的数据。均值跟中位数相差比较大，那么离散值就非常大，会偏差很多。

几何平均数

n个变量值乘积的n次方根
表示的符号： G G G
几何平均数(根据未分组数据计算的)： G = x 1 x 2 . . . x n n G =sqrt[n]{x_1x_2…x_n} G=nx1/span>x2/span>…x来源：hwwaizs