Adams 线性多步积分器（一）

Adams 线性多步积分器（一）

在动力学系统仿真和计算中经常非线性微分方程的解算问题，其基本问题可以描述为：

dydx=f(x,y);y(x0)=y0” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”>dydx=f(x,y);y(x0)=y0$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x,y);y(x_0)=y_0$$ $$dfrac{dy}{dx} = f(x,y); y(x_0) = y_0$$
常用的解算方法主要可以分为单步法和多步法，在轨道积分中常用的单步法有4阶Runge-Kutta和嵌套的RKF(7,8) 等方法，单步法相对来说解算结果稳定，但是对于步长要求严格，而且每一步都需要多次计算其右函数f(x,y)” role=”presentation” style=”position: relative;”>f(x,y)$f(x,y)$$f(x,y)$，以RKF78为例，每一步积分需要计算13次右函数值，而通常在轨道积分中，函数f(x,y)” role=”presentation” style=”position: relative;”>f(x,y)$f(x,y)$$f(x,y)$非常复杂计算也特别耗时，因此对于轨道积分而言，单步法效率不高。
而对于多步法而言，每一步只需要计算一次右函数值，因此其效率相对来说较高。但是多步法需要前K步的一阶微分值作为起步数据，通常可以借助RKF单步法起步。在多步法中较为常用的有Adams系列，BDF系列。本文重点介绍Adams的代码实现，其相关理论公式推导可以参考相关书籍。Adams积分器分为预测公式(Bashforth)和修正公式(Moulton)，K阶的Bashforth 的公式可以表达为：
yn+1=yn+h&#x03A3;piy&#x02D9;n&#x2212;i,i=0,1,...,k” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”>yn+1=yn+hΣpiy˙n/span>i,i=0,1,...,k$$y_{n+1}=y_n+h\mathrm{\Sigma }{p}_i{\dot{y}}_{n/mo><mi>i</mi>},i=0,1,...,k$$ $$y_{n+1} = y_{n}+hSigma{p_{i}dot{y}_{n-i}}, i =0,1,...,k$$
其中pi” role=”presentation” style=”position: relative;”>pi$p_i$$p_{i}$是其系数,h为步长。
类似的，K阶的Moulton改正公式一般形式为：
yn+1=yn+h&#x03A3;qiy&#x02D9;n&#x2212;i+1,i=0,1,...,k” role=”presentation” style=”text-align: center; position: relative;”>yn+1=yn+hΣqiy˙n/span>i+1,i=0,1,...,k $$y_{n+1} = y_{n}+hSigma{q_{i}dot{y}_{n-i+1}}, i =0,1,...,k$$
其中qi” role=”presentation” style=”position: relative;”>来源：腾云望雨石