营养搭配Lingo

1. 问题重述

某学校为学生提供营养套餐，希望以最小费用来满足学生对基本营养的需求，按照营养学家的建议，一个人一天对蛋白质、维生素 A 和钙的需求如下：
50g 蛋白质 4000IU(国际单位)维生素 A 和 1000mg 钙。我们只考虑以下食物构成的食谱：苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：
(1)对维生素 A 的需求增加一个单位时，是否需要改变食谱本增加多少果
对蛋白质的需求增加 1g 呢果对钙的需求增加 1mg 呢br> (2)胡萝卜的价格增加 1 角时，是否需要改变食谱本增加多少br>

4.问题分析

均衡膳食还包括各种维生素和矿物质的摄取量。只有营养结构合理，身体才能健康。要进行营养配餐，首先要了解各种食物的营养成分及其含量，然后根据人体对热能、蛋白质、矿物质、维生素的需要，选择搭配食物，进行合理烹调。
对本题而言，可以处理为一个优化问题，这个优化问题的目标是使每天的每个人的食材消耗最少，同时又满足营养指标，要做的决策是搭配计划，即每人每日的食材种类和数量。决策受到四个（若为整数，则为五个）条件的约束：蛋白质下
限，钙含量下限，维他命下限，同时食材的数量默认为非负。
综上，此题即为整数规划问题（若可以取小数则为一般线性规划问题）。

5.模型建立与解决

基本模型

决策变量：

目标函数：假设第种食材的数量为()，则总的价格最小可以表示为：

维他命：根据实际要求，每日的维他命含量不得低于 4000：

非负约束：同时要求第种食材的数量()数量大于等于零:

模型分析：
·比例性：每个决策变量对目标函数的“贡献”,与该决策变量的取值成正比;每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”,与该决策变量的取值成正比.
·可加性：各个决策变量对目标函数的“贡献”,与其他决策变量的取值无关;各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”,与其他决策变量的取值无关.
·连续性：每个决策变量的取值是连续的.比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性,连续性则允许得到决策变量的实数最优解，通过软件求解可得，该模型可以求得全局最优解

6.模型评价

本文就如何搭配不同食材，来使得搭配方案满足营养的要求，同时要求花费的费用最低，当然，方案尚且存在一些不合理之处。
不合理性：只考虑了利益最大化，没有考虑实际情况人们对食材的要求不同。
考虑不全：在实际情况中，鸡蛋的单位为个，所以要求必须为整数。
全局最优：多方面考虑，可以判断该线性规划存在全局最优并用软件求出。
Lingo:

来源：CAMlive