现在再讲如何读数学课本。先讲为什么学数学？
一是数学有用。
有用指两方面，一方面是绝大部分学科要用到数学知识。
马克思说过：“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”华罗庚这样讲的：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。”社会科学方面华老还未提到。美国一位数学老师T Pappas写了一本书《数学走遍天涯》，列举具体事例说明在建筑、金融、美术、动物、植物、人体结构、天文、地理、分子、原子等，数学的足迹遍布海角天涯。数学还在发展，就是说数学既古老又年青，生命旺盛，领地还要扩大。
另一方面是数学的思维方法。
数学不仅有用，数学还很美，罗素说：“数学，从正确的观点来看，它不仅是真理，而且至上的美丽――一种严峻的美，雕刻的美，没有向弱点做任何的迁就；没有音乐和绘画那样的装饰，而是令人惊异的纯真，具有最伟大的艺术品所显示的完美。”数学还是文化的一部分。数学在西文明中一直是是一种主要力量。英国历史学家汤恩比曾指出，世界上曾经存在有21种文明，但只有希腊文明转变成了今天的工业文明，之所以如此，就是因为数学在希腊文明中提供了工业文明的要素。
所以我们要学好数学，小学的数学为中学的数学打下基础，中学的数学为学好高数打下基础，这基础不仅指知识，更主要的是数学思想方法和数学能力。所以，我们学习数学则要放在此方面，能力的培养不是靠题海战术。而是把精力放在理解、思考、分析和解决问题上。
数学思想，在中学主要是：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想。
数学的基本方法有：待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法等。
数学逻辑方法或思维方法有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等。
数学思想和基本方法蕴涵于数学基础知识之中，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程。因此，我们在看书和做题时要注意这点。
对数学能力，考试大纲提出有：空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，应用意识，创新意识。每种能力还有具体要求，你只要找到一份考试大纲就清楚了。
数学能力一般区分为两种水平：一种是独立创造具有社会价值的数学新成果的能力；一种是在数学学习过程中，学习数学的能力。中学阶段主要培养第二种数学能力。这两种能力是有联系但有区别。
首先，学习数学的能力是形成数学家的数学能力的前提；其次，中学生和数学家都具有数学能力的因子，区别在具有数学能力因子的强弱程度不同，组合这些因子的方式也不同；最后，数学能力形成后并不是固定不变的，仍要不断地发展、变化。特别是中小学生学习数学的能力，发展变化更大，是一个不断重建结构的过程。高考是知识能力并重，以能力为主。因此，你要把培养能力放在首位。
中学数学能力是以逻辑思维能力为核心，运算能力是思维能力和运算技能相结合，空间想象能力也要与推理相结合。应用意识主要是能将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，应用相应的数学方法解决问题。创新意识是理性意识的高层次表现，能发现问题和解决问题。实际上是对数学知识的迁移、组合、融会。
曾参加奥林匹克数学竞赛命题的欧阳维城说：“数学奥林匹克试题中，还有很大一部分是所谓‘智力型问题”，这类问题一般不需要太多的具体数学预备知识，也不涉及太多的数学运算，但却需要某种深刻的数学思想，找到了这个思想，问题一点就破，这正是所谓奥林匹克数学的特征。”
学数学首先要读好课本。教材是根据教学大纲编写的，我们学习的教材是分科编写的，即代数、三角（平面及球面）、立体几何。（解放前用的是美国教材，内容要深些），现在三角只有平面，只学三种三角函数，增加了向量（我是大学才学向量）作工具。新课标更把大学知识下放（不要求证明，只要会用）现在教材是几种学科集中编在一起。但你学完后还是分开整理。数学教材的逻辑性很强，主干知识不多，主要是函数、空间线面关系、圆锥曲线、概率统计。不等式我是放在函数内，因为是比较两个函数。
逻辑性强说明前面未弄懂的不要学后面，必须一步一个脚印。
数学体系是先有一些原始的概念（不能精确定义）和公理然后定义新概念并推出一些公式和定理，这些公式和定理中有一些是重要的和基本的。所谓重要的，是指用处很多，如勾股弦定理；所谓基本的，是指很多公式或定理由它推出来，如三角学的两个基本关系式，诱导公式及余弦的两角和公式等。这些开始不了解，必须在学完后才理解。张景中院士提出学完一段后就要把知识压缩，高中学完全部知识变成两页纸，那就算学好了。
概念是反映事物的本质，要注意它的内涵和外延，不同概念的区别和联系。学会用概念解决问题。张景中把用概念解决问题提到这是数学内功的高度。
讲了概念后，第一个定理或公式是由概念推出的，你要细心揣摩推导过程，找到关键几步，你就学到方法了。对数学的概念要求掌握是什么？为什么？如何用？
对于公式，一要会推导，二要弄清条件，三要记住（数学公式很整齐、有规律、特别要注意符号和变形），是要会应用。
对于定理，同样要求，但要看看逆命题是否成立，还要写出逆否定理（肯定成立），还要试试有无推论。
课本上的例题有两种类型，一是帮你分清概念的，做完后你还要想想，还能提出什么问题。一是讲如何运用公式或定理，有时讲完后总结成一般方法，这时你把它记在笔记本上；大多数是没有归纳的，这工作由你完成。所有例题必须独立演算一遍。演算后与课本对照，看表达是否规范。
最后做习题，做以前先分类，与某例题相同的归到一起。有时间多做，没有时间同类型的只做一题。（每天用于数学时间不能超过1时半）。
一章结束，先自己总结，然后看教材的总结，如果你的归纳和课本差不多，说明对这章是基本理解了（不能算完全掌握）。
怎样才算完全掌握，一是这门学科（分代数，代数再分函数与概率统计，初中数学分为代数与平面几何，初中代数主要是数及解方程。立体几何，解析几何）学完后能够建立知识的框架。二是各科知识的融合。三是能够运用（解题，解实际问题也就是应用意识和创新意识）。
表现在考试上应是满分。我的观点是中学生的数学只有两个分数，100分和0分，因为考试的内容是你学过的。（奥赛不在此内，因为超过中学内容）。北大的数学考试有个别题连老师都不会做，是老师正在研究的问题。我们过去是5分制，同是5分，差别很大。现在在北大数院拿满分很难，主要是推理上的表达，计算要求不高。
而中学的推理简单，计算要求高，一点都不能错。但中学的运算主要是四则运算，这是小学生需要掌握的，中学多了负数，很多人错在符号。只要平时养成做事专注的习惯，就不会出现低级错误。这种习惯在小学高年级级就要养成。为什么没有养成，我认为作业太多，学生顾量不顾质；所以数学题还是要精练，每个知识点能精练十道二十道就够了，但是必须全部做对才能算过，给小学生推荐一个数学练习软件“小学数学练习机”，不全部做对不给分，全部做对才给分。
老师对试卷分析，使学生没有自己思考的习惯，反正老师会讲，自己何必去想呢？我们过去不是这样，习题无解答，甚至无答案；老师从不讲试卷，试卷也不发，只给分数，对错自己检查，那时的学生对老师的依赖很少。所以我提出：想读北大的学生从高一开始就要做到学习以我为主。
现在我举例说明数学如何读书，一是教材，一是课外读物。
学数学先要掌握数学概念，必须坚持概念第一，运算技巧第二。早在1850年高斯给斯库马柯的信中就强调这一点，现在计算机技术发展到今天，编出很多数学软件，很多复杂的运算可以让计算机完成。
数学概念有两类，一是很容易理解，一是要多次理解。
前者如角的概念，后者如函数概念。
数学的对象是数和形，形的元素是点、线、面。平面图形由角与边组成。在平面对角的要求最大就是周角，360度。但是研究转动，360度不够用。因此要对角重新定义。掌握了这个定义就够用了。而函数就不同，函数是数学的最基本、最重要概念之一，不是记住定义就理解了，一直到大学数学系三年级以后才可能真正理解函数概念。
在古代数学中已经知道一大类特殊的函数关系并加以研究，但函数中变量依赖思想并没有明显表达出来，函数也不是独立研究对象。函数概念的雏形在中世纪才出现在科学文献中，与解析几何产生有密切联系。“函数”作为数学术语首先是莱布尼茨在1692年的论文中第一个提出的，随着数学的发展，函数的定义不断改进和明确。伽利略说：“为了理解宇宙，人们先要学习描写它们所用的语言，并且解释这种语言的字母，宇宙使用数学语言写成的，它的字母是。。。几何图形。
我们知道，世界是物质的，物质是运动的。世界上的万物不是孤立的，它们之间是有联系的。描写它们的联系关系，数学语言就是函数。
在古代数学中已经知道一大类特殊的函数关系并加以系统研究，但函数中变量依赖思想并没有明显地表达出来，函数也不是独立的研究对象。函数概念的雏形在中世纪才开始出现在科学文献中，与解析几何产生有密切关系。“函数”作为数学术语是莱布尼茨在1692年的论文中首先提出的。随着数学的发展，函数的定义也是不断地改进和明确。
现在高中数学给出的定义是最新的。用集合来表示，把函数与集合论中的映射联系起来。
函数的定义能完整地背出来的仍不多，能真正理解得人更少。
函数的定义有很多值得思考的地方，有些问题你能解决，有些还不能解决，当时你要能提出来，当然有些问题你目前的水平还提不出来，随着学习的深入，应该不断地发现问题。如果提不出问题，表明你没有认真思考，学而不思则罔。
第一个问题，定义中出现三个要素，两个非空数集，一个对应法则。它们之间关系是并列的还是主从关系？如果是主从关系，如何排列。我认为，对应法则最重要，集合A（我们称为定义域或自变量，集合中的元素）是由对应法则决定的。集合B（我们称为值域或应变量，集合中的元素）。
第二个问题，定义中要求A中任何一个元素也可以说全部元素，能不能有些元素例外呢？不能网开一面吗？不行，非常严格，不能通融。就像坐飞机一样，没有身份证不能上飞机。（指乘客，空勤人员可以没有身份证，但他们必须带证件）。
第三个问题，定义中要求B中有一个（存在性）而且只有一个（唯一性）与A中元素对应。有没有B中元素有些没有A中元素与它对应呢？有可能。
有无可能B中元素不止一个呢？有这种可能，这时叫多值函数。我们的定义是单值函数。
第四个问题，A和B是非空数集，它们的表示方法在学集合时已经学过，那么函数又如何表示呢？因为数学言语可以用文字、符号、图象来表达。这下面就要学到。教材上讲了三种表示法，即解析法、列表法和图象法，还有没有其他方法呢？有。可以用描述法，如有名的迪里赫勒函数D（x）。当X为有理数时，D（x）＝1，无理数时为0；也可以用计算机的算法或程序等等。
第五个问题是对应法则是原来存在的还是人为的呢？自然界的对应法则是原来存在的，我们要通过各种办法去寻求它。也有人为的，如银行的利息，人民币对美元的汇率。虽是人为，但不是随意，他要根据经济发展情况和贸易情况而定。
第六个问题，这三个要素怎样求？这些通过学习来解决。
第七个问题，上面说过，函数是研究变量之间的关系，要怎样去研究？主要通过研究函数的性质，这就是以后学习的内容。高中数学主要研究单调性、奇偶性、周期性、连续性、可导性，重点是前三项。
第八个问题，有多少函数？应该说我们知道的是无数，还有无数函数我们不知道。我们知道的函数可以分为两大类，初等函数和高级函数。
初等函数中有一种为基本初等函数，就是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。由基本初等函数及常数，经过有限次四则运算和有限次的复合而得的所有函数，统称为初等函数。
基本初等函数是数学里最基本最重要的函数，大量的自然现象、社会现象可以用这些函数作为数学模型来描述和解释，大量实际问题可以用这些函数为工具来解决。
第九个问题，如果不止两个集合呢？当然可以。这到大学再说。数学的研究都是从最基本的研究起，复杂的可以化为简单的。
你要继续想，可能还会提出更多问题。
现在换一个问题，函数的定义域是数集，是以数字为元素的集合。应该具有几何的共性。
现在不少的教学参考书把几何的特性分为三点，即确定性、互异性、无序性。
第三点值得商榷。无序性是讲集合中的元素，不考虑顺序，或者说没有大小。
数集就是有序的，实数就是一个完备有序域。不是数集，也有有序的。
《水浒传》的英雄们一批人上了梁山，就要重新排序。
初唐四杰是王、杨、卢、骆，即王勃、杨炯、卢照邻、骆宾王。杨炯幼举神童，年少才高，对此排名甚为不满，他说，吾愧在卢前，耻居王后。你能说四杰无序吗？
学了数学还要会用，解题是用，这只是一方面。更重要的在周围事物中发现数学问题，首先是读非数学书，如苏轼的《前赤壁赋》中第一句话就是解不等式问题，就知道苏东坡是什么时候写这篇文章的。《生于忧患，死于安乐》，孟子得出的结论用的是归纳法，而《师说》，汉语用的是演绎法。《三国演义》中草船借箭，孔明用了20只船，30士兵，有一条船多2人（孔明及鲁肃），每条船装5000只箭（假定每条船得箭平均），你能计算每条船的吃水量。再如有本趣味数学，讲到《圣经》第一篇”创世纪“，上帝要挪亚造一个方舟，作者计算了装物的量，得出的结论是，上帝不会计算，因为按上帝提的尺寸，方舟装不下全部生物。当然你还可以从书中发现其他学科知识，我在读文言文中就提出过。
其次，你周围都可发现数学问题，有些问题需要用高等数学来解。高等教育出版社《高等数学引用205例》讲的用高等数学解实际问题。张景中院士主编的高中数学教材中提出不少解决日常生活中的事例。一本美国人写的《数字的力量――揭示日常生活中数学的乐趣和威力》。你走在路上，看汽车号码，可以发现数学问题，如 24361，前两位可以看成是两打，后三位是19的平方，你也可看看哪些数能被2，3，4，5，6，7，8，9，11，整除，2，4，5，8，9比较简单，一眼就能看出。你看见汽车转弯，你可提出汽车掉头路宽与车长的关系。如果你不能直达，如何坐车使时间最少。上海科学普及出版社出版的《高中情景数学》，看后很受启发，有一节是讲上海的快餐，在“麦当劳“、”肯德基“、”必胜客“”新亚大包“、“永和大王”处都能提出问题。如果你还不会提问题，建议你看看科普读物和趣味数学，会得到启发。
我在前面说过，中学数学的能力是以逻辑思维为核心。
逻辑是人类长期思维经验的总结，逻辑学是研究正确思维的理论，中学及大学不开设逻辑课，只有哲学系开设。你可找一本逻辑学看看。主要是概念、判断、推理、逻辑思维的基本规律。
前面讲过，学了定理后，要会推论。现在我把张景中院士对“正弦定理”和“余弦定理”的推论选几条做示范。
正弦定理有12条推论，余弦定理有8条推论。
正弦定理推论1：在三角形ABC中，若角A＝角B，则边a=b。
推论4：在三角形ABC中，若a.>b则角A>角B。这是平面几何中的定理大边对大角，
用正弦定理很快推出来，还有一些平面几何定理，当时证明时，辛辛苦苦画图、分析、找窍门，添补助线才能得到的定理，
解题的思路很重要，看书时就要注意思路，解题时也要注意思路。
最近我借到张景中院士的《新概念几何》（2002年出版），他提出共边定理、共角定理、共圆定理、勾股差定理、面积方程，提出消点法，对学习数学有启发，但考试时不能用这些定理（奥赛学生可以）。
现在我把一些思想摘录如下：
他提出学习必须精益求精。他画了两个三角形（共边）第一问，哪一个三角形大，一眼看出。接着问大的三角形是小的三角形的多少倍。通过测量高和底，分别计算面积，就可得出结论。他指出，这是个笨办法。因为同底三角形只要比较高，没有必要计算面积。但他认为还可以有更简单的方法。利用相似三角形（要画出线段的交点），只要量出线段的长度。如果不用相似三角形，他利用同高三角形的面积的比等于底之比也可以得出同样的结论。
最后他提出，从这思考过程得到的启示：
一．不要放过那些表面上看来平凡而简单的问题，它的背后也许有你还没有弄明白的问题。
二．。找到一种解题方法后，不妨再想想，有没有更高明的办法。
三．更高明的办法也许要用到更多知识来说明其中的奥妙。不妨进一步想：能不能用更少的、更基本的知识来说明那些你本已为要用较多的知识才能说明的道理呢？
问题到此并没有结束，还可以举一反三。我们提出的三角形其特点是有一条公共边，但，有公共边的两个三角形，它们的位置关系是多种多样的。
是不是在任何情形之下，得到同样的等式？
这样看问题和提问题，我们是从两个特殊三角形出发，提出了“有公共边的两个三角形“的一般概念。有了一般概念，就可以提出更一般的问题，找出更一般的规律。
他进一步提出要“举一反三“，孔夫子很强调举一反三，他说；”举一隅不以三隅反，则不复也。“翻成白话文，就是”教给他东方，他却不能由此推知西、南、北方，便不再教他了。“虽然夫子是“诲人不倦”，但是你不动脑筋，他老人家还是不愿教。
他从上面的特殊的共边三角形得出一般规律，即共边三角形的面积比可以转化为线段比来表示。用数学语言来表述就是：共边定理。
证明这个定理，他用了两种方法，一是用取辅助点，利用“同高三角形的面积比等于底之比”，这方法比较巧。另一证法是用过渡法或架桥法。这种办法有时能解决相当难的问题。当原问题的关系不很明显，就找明显的三角形过渡。。
第三点，从反面想一想。共边的定理的前提是“设直线AB与PQ交于M”。但是，如果AB与PQ不相交呢？
这样提问题，叫做从反面作想。数学里很多命题，如果从反面想一想，往往能开辟出新天地。
第四点，问题太难怎么办？一块不规则四边形的田地，每边取三等分点，再把两双对边的三等分点连起来，成了一个井字形。中间那一块面积真好是四边形的九分之一。
面前的题很难，不做不甘心，做又太难。怎么办？有一条十分有用的规则：
如果当前的问题太难，你就做一个比较容易的类似的问题。
对上述问题，我们退一步，先解决一个简单一点的问题，能不能证明中间长条的面积为四边形的三分之一呢？证明后再证中间那块是中间长条的三分之一。
第五点，要进一步想。碰到难题，要退一步想。问题解决后，要进一步想。想什么呢？
(1),能不能做更难、更一般的问题？
（2）同样的问题，能不能做得更简单、更漂亮？
（3）从解题过程中，能总结出一些经验、方法呢？
关于第一点，三等分点可以变成五等分点，或者横着三等分，竖着五等分，也可考虑。如果四等分、六等分，问题怎么提法，还可以问，除了中间那一块，其余8块面积能不能计算？如果不能算，加上什么条件就可以算了？
关于第二点，做到很难，可以慢慢琢磨，不必急于求成。
关于第三点，很重要，有了经验和方法，难题就不怕了。
第五点．传统的几何证明不严谨。在初中学过，三角形全等的判别法只有边角边、角边角、角角边、边边边，没有角边边，就是因为角边边判定法需要一个辅助条件：一对对应边的对角不互补。不少几何定理，都需要加上某些辅助条件才成立。这种辅助条件一般是不等式，叫做非退化条件。
吴文俊院士认为传统的几何证明方法不但不是严谨的，而且无法达到真正严谨的程度。这是因为几何定理的成立往往要有非退化条件，而传统方法无法确定这些非退化条件。吴教授创立了几何定理机器证明方法，这方法是非常严谨的，并且能够确定使定理成立的非退化条件。
第六点，解几何问题，应当吸取代数的思想与方法。一种吸收了代数的“消元思想”，引入了“消点法”。一种是解方程，引入了“面积方程”。（注意：这与解析几何不同，su注）。
第七点，三角形与圆。圆的性质很多，其中最重要的一条，是圆周角定理。从圆周角定理，马上可以推出一串关于圆的重要性质。其实，几何图形中的圆，它的一切性质，归根到底，都是由等腰三角形的性质变出来的。但是，有了圆能引导我们提出新的问题，提供新方法，有些话用圆表达很简洁。如“圆内接四边形对角互补’换另外一句话说：’若有一个点到某四边形四定点距离相等，则此四边形对角互补。”
第八点．用代数手段解决几何问题，代数式变形技巧十分有用。
第九点，学数学的过程。
本书（平面三角解题新思路）讲的是三角函数：正弦、余弦，也提到正切。
正弦、余弦和正切，课堂上也要讲的。这里讲法与课堂上不一样，但讲的是一回事。
读了这本书，最好能回顾一下，想一想下面几个问题：
我们是如何引进一个角的正弦的？为了引进正弦，要有什么准备知识？
课堂上是如何引进正弦的？要有什么准备知识？
正弦的基本性质――增减性、补角正弦、加法定理、正弦定理等，我们是怎样证明的？要证明这些性质，需要什么基本知识？
余弦在这本书里是如何引进的？
余弦的基本性质――增减性，补角正弦，加法定理，余弦定理等，是怎样证明的？
正切在这本书里是如何引进的？
正弦、正切与圆有什么关系？
这些东西你弄清楚之后，便会发现，这本书讲的东西并不多，它们之间的逻辑关系相当简单。为了引进正弦。余弦和正切，用到知识也不多。
但你如果把我们介绍的例题仔细看看，习题再做上几个，便会看到：这不多的基本知识，运用起来变化却很多，用的好了，能帮你解决不少问题。
学数学，就是这么个过程：由多而少，由少而多。
开始学新东西，眼花缭乱，觉得很多。
学通了。想透了，你会发现，基本的东西，关键的东西并不多，抓住那么几点，就都带起来了。
进一步，应用你的知识去解决问题，你会发现：知识只那么几条，用起来却变化无穷，你还不知道的东西如汪洋大海，茫茫无边。
但你不必陷入题海，应当进入又一个学习周期，取得新的基本知识。
来源：中学物理答疑解惑
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