《数学家讲解小学数学》，伍鸿熙著，赵洁、林开亮译，北京大学出版社，2016年
《数学家讲解小学数》简介
作者 | 赵洁 林开亮
3 《数学家讲解小学数学》简介
3.1 总论
总的来说，伍教授的这些著作都是针对“正确的中小学数学”而写的。就是说，这些书是根据从小学到高中的数学课程而写的。所以书中的一切概念和推理， 都是可以适用于中小学课堂的正确的数学（而不是为了追求严格性而写的数学）。伍教授之所以非常强调正确的数学，是因为他发现，目前公众对中小学数学的误解恰恰在于，他们认为学校讲授的数学基本上是正确的。但事实上，如果去翻看中小学数学教材，就立即看见错误百出。所以，当务之急就是要更正这些错误， 确保所讲授的数学是正确的。本着这一宗旨，《数学家讲解小学数学》的致读者部分这样结尾：
我希望你们已经开始发现，阅读这本书需要下大力气，这样才能保证学到并讲授正确的数学。正确的数学比不正确的要好教，正如一篇好文章比一篇差文章要容易读。你所下的功夫最终将有助于你成为一个更出色的数学教师。这便是本书要讲的全部内容。
伍鸿熙教授，图片来自 math.berkeley.edu
谈到伍教授的这些著作，笔者忍不住想要将它们与20 世纪最有影响的两个数学教育家克莱因（F. Klein，1849-1925）的著作《高观点下的初等数学》（【15】） 和弗兰登塔尔（H.Freudenthal， 1905-1990）的著作《作为教育任务的数学》（【11】）做一个比较。先来看弗兰登塔尔《作为教育任务的数学》。正如作者在序言（见【11，第 4 页】）中所说的，“本书虽然也研究了许多细节，但它首先绝对是一本数学教育哲学的书。”他在书中研究了哪些课题是可以教的，提纲挈领地论述了中小学数学的一些基本课题，强调要将近代数学的某些思想渗透到中小学数学中去。可以发现，伍教授《数学家讲解小学数学》与之形成鲜明的对比：《作为教育任务的数学》是构建抽象理论框架， 宏观概括地指出问题，谈的是一种理想和目标；而《数学家讲解小学数学》则是论述具体的基本数学知识，直面学生可能遇到的各种问题并一一化解，处理的是现实和实践。我们举一个例子以说明《作为教育任务的数学》的风格（见【11】）：
乘法的矩形模型关于两个因子是对称的，但是当具体的数量相乘时就失去了对称性：如果件数乘以单价、工作时数乘以小时工资，月数乘以 30，那么在乘数与被乘数之间或多或少地存在着明显的区别。
教学法专家在除法中觉察到了这个不对称性，由于除法是一种高度直观的运算，所以“5 个人分 20 块面包，每人分多少？”与“20 块面包，每个人分 4 块，可以分给多少人？”从直观上来看，这两个问题就是截然不同的事情。前者 20 块面包由 5 个人分称为分配除法，后者 20 块面包除以 4 块面包是比的除法。这就要求学生用不同的方法解两个问题，特别是，两种情况下的长除法是不同的。……我也认为，应该训练学生解两类问题， 例如，“4 乘以什么数等于 20？”与“什么数乘以 4 等于 20？”等等。但是，不要在每一种情况下得出一个特殊的法则，而应理解为它们具有共同的模型，所以一种法则就足够了。我之所以提出这个问题，就是因为，如果某些教学法专家不是从量的基础理论出发来考虑除法，那么除法的两重问题就会一代一代地死灰复燃。
弗兰登塔尔这里所说的“除法的两重问题”在《数学家讲解小学数学》§7.1 中有详细的讨论，分别被称为等分除解释和包含除解释。伍教授进一步指出，除法的这 两种解释相互对偶，因为乘法满足交换律。
再来看克莱因的《高观点下的初等数学》，伍教授在首都师范大学所做报告的大标题是“高观点下的中小学数学”，看似与此非常相像，实则大相径庭。吴大任先生曾经为中译本写了专门的介绍（见【24】），对这三卷书赞誉极高。这一点不容否认：一个中小学数学教师如果能把这三卷书读下来，那么他的修养必定可以得到极大的提高。但是，应该坦白承认，这三卷书其实并不适合教师直接应用于中小学数学课堂。因为该书要求读者事先掌握了初等数学，然后再进一步拔高，这就是克莱因所谓的“高观点下的初等数学”。事实上，这一点早就被弗兰登塔尔指出过了，他在【11】如是说：
有许多初等数学的现象只有在非初等的理论框架下才能深刻地理解。克莱因的观点就是想为教师日常的课堂活动提供一个科学的背景。但是，克莱因在《高观点下的初等数学》中提供的背景对中学教师而言， 只能作为周末的风景观赏，却不能作为间接的手段进入课堂。因此，不能影响中学数学。例如，克莱因详细说明了伽罗瓦理论是中学求解二次方程、三次方程的背景， 但是，事实上伽罗瓦理论高踞于中学数学水平之上。
因此，克莱因《高观点下的初等数学》对中小学数学教师的教学过程并不能有直接的帮助。相比之下，伍教授的这套师资培训教材则是直接论述教材中的基本知识，直面学生有可能遇到的理解上的困难和疑惑，所以对改进中小学的数学教学会有立竿见影的效果。
3.2 《数学家讲解小学数学》的基本特色
根据笔者的体会和理解，总结起来，《数学家讲解小学数学》一书至少有以下十点基本特色：
一、等级森严：循序渐进。
这本书是写给中小学数学教师的，但基本上是从零开始，除了要求读者对基本的加减乘除四则运算有所了解以外，不需要任何其他的准备知识，所以即便是对一般的读者（特别地，包括学生家长）来说，读这本书也应该是毫无困难的。正是因为这本书没有对读者做过多的要求，所以在材料的选择和内容的安排上， 先后次序非常有讲究。本书的主题是数，内容上分为五个部分，依次分别是：自然数、分数、有理数、初等数论、小数。除了初等数论以外，这些课题都是中小学数学中的常规内容（对于初等数论，我们将在下面第六款中讨论）。这一安排不仅遵循了各个课题之间内在的等级结构，而且符合中小学生学习数学的循序渐进的规律。
二、语言清晰：定义精确。
学习数学最重要的一点就是学会逻辑推理，而定义是进行逻辑推理的基础。数学中所讨论的对象都应当非常清晰、具体，否则容易给往后的逻辑推理造成不必要的麻烦。本书最大的特色之一是，对所有论及的基本概念都给出了精确的定义。例如，数、分数、小 数、有理数以及数的四则运算等基本概念甚至四舍五入的概念在本书中都能找到清晰的定义。举例来说，分数的乘法在书中定义为：
边长为 和
的矩形的面积。
再如，书中将有限小数定义为一类特殊的分数：
有一类分数比较特别，值得在一开始就单独指出来，即分母是 10 的某个正整数次幂的分数，如：
这些分数被称为“十进制分数”。不过，使用另一种记法和称谓可能更容易理解。1593 年，德国传教士、天文学家克拉维乌斯明指出，如果我们舍弃分数的形式，一个十进制分数可以更容易地以如下方法写出：只写出分子，并用所谓的小数点记录分母中有多少个 0 （上述十进制分数中第一个有 2 个 0，第二个有 5 个 0，第三个有 4 个 0），于是上述分数相应地改写为：
用这种小数点的方式写成的数称为有限十进制小数或有穷十进制小数。
作者进一步强调了这一定义的合理性：
就学习数学而言，本书中小数的这一定义可能给读者造成第一个严峻的障碍。我们来重复阐述一下主要内容：一个小数，例如 0.0938，它本身的意义是一个分数，即
你可能会将小数的这一特殊“解释”认为 是开玩笑，对此不加以太多的注意，然后接下来就全部忘记。然而，小数这一定义的作用正是在于要求你重新思考已学过的小数的知识，并以此定义作为出发点重新整理所学的知识，来对已有知识作一个整体的新的评价。这可并非一件容易的事情， 因为你已经习惯于认为 5.89 表示 5 个 1，8个
，9 个
之和，并不考虑它是什么意思，也不考虑这样定义会在将来用小数计算时给你带来多大麻烦。我们也深深理解，要接受一个全新的定义需要下很大的功夫，（其难度无异于学习一门新的语言），我们也会在后续的章节中尽最大可能帮助你理解。不过仍然需要你自己努力，因为如果不亲自动手，小数部分的知识对于你来说将永远很难对付。
还有一个例子特别值得在这里一提，这就是第 18 章引入的匀速运动的定义。伍教授注意到，在中小学数学文献中，人们很难找到匀速直线运动的准确定义， 于是几乎所有与运动有关的问题都要么是通过单位变化率来做，要么是通过比例推理来做，而不是数学推理。他写道，如果在要求学生求解运动问题之前却没有预先告诉他们需要知道哪些条件，那么这绝对不会是成功的教育。
有鉴于此，伍教授在本书中第 18 章第 293 页对匀速运动给出了一个精确的定义：
若一个物体在任意的时间段 t 内的平均速度 d 都等于某个固定的
，则称这个物体做的是匀速运动。
此外，对于读者可能不明白的较为陌生的一般观念，书中常常以脚注的形式加以解释。“在数学中，引理也是一个定理，但是人们对它的兴趣略逊一筹，它 的特点是，通常带有一定的技巧性，但可能不是作者 要写的最本质的东西。”
笔者之前曾经见过法国当代著名数学家塞尔（Serre）曾在【8】对引理作出如下诠释：
我应该解释一下引理是什么吗？登山者从一级上到更高的一级需要支撑，引理就是数学家的支撑。
为此，笔者曾向伍教授建议在中译本中添加一个译者注作为补充，引用塞尔先生的上述绝妙比喻，伍教授 欣然采纳了这一建议，并且一再对译者授权说，凡是 有助于读者理解的提议，都可以大胆采用。
三、逻辑严密：推理论证井井有条。
该书对中小学数学中的诸多基本事实都给出了清晰明了的证明，这些证明往往都是从定义出发，一步 一步、环环相扣地推导，每一步都有理可循，而且言简 意赅、要言不烦。
作为例子，我们来看第 13 章对于等值分数定理的证明。
给定分数，我们要证明，对于任意非零自然数 c，有
则对于的任意两个相邻倍数之间的线段来说，小线段把它分成 c 个相等的线段。此时，观察到，的任意两个相邻倍数之间的线段长度为 1 ，每个小线段的长度为。而前者恰为由c个小线段拼接而成，所以表示 c 份。由于表示 m 份，表示 c 份，所以表示 cm 份，而
书中还有很多这样的例子，第 17 章对分数的乘积公式的证明，第27章对“去括号”法则的证明等等， 也都是从精确的定义出发。再如，对匀速运动问题的求解都是基于匀速运动的定义。
四、由简到繁：从特殊到一般。
书中的论述和证明常常遵循这样一个模式：先讨论一个特例，揭示其关键点所在，然后将特殊情形下的论证推广到一般情况。例如，书中对” 负负得正” 的证明，先考虑一个重要的特殊情况 (?1)(?1) = 1，然后过渡到对所有的正整数 m, n 来证明 (?m)(?n) = mn， 最后才对任意的有理数 x, y 证明 (?x)(?y) = xy（负负得正）。下面我们依次援引【19】给出的证明。
首先来看最特殊情况下的负负得正：(?1)(?1) =1。
定理 (?1)(?1) = 1。
证明：令 z = (?1)(?1)。我们的目标是证明 z = 1。首先想想：对于有理数 z，如何证明它是否等于 1？可以尝试的一种方法是，验证 z 是否满足 (?1) + z = 0。如果是，则
通过计算有
{根据(M2)以及z的定义}
所以可得z=1，也就是(?1)(?1)=1。证毕。
注：这里的 (M2)，(M3) 是对有理数的乘法所作的三条基本假设的第二条和第三条，分别是：(M2)如果 x 是任意的有理数，那么 1 · x = x； (M3)对任意有理数 x 有 0 · x = x · 0 = 0。接下来我们再来看正整数情况下的负负得正：(?m)(?n) = mn。(?m)(?n) = mn 在一般情况的证明与前面的特殊情况本质上是一样的。
我们首先证明，对任意的正整数 n 有
(?1)(?n) = n。
(?)
根据“去括号”法则，
因此
（根据分配律）
（根据定理）
这就是我们要证明的。因此，对任意的正整数 m, n 有
(根据“去括号”法则)
(根据分配律)
(根据 (?))
对于 m, n 是任意有理数的情形，留给有兴趣的读者，可参见【19】。
五、评论中肯：示人以朴。
本书中穿插着许多注记。这些注记往往是小结性的，通常一针见血地指明问题的关键所在。比方说，对于某些结果，书中给出了不止一个证明，有的是计算性的，有的是概念性的，伍教授在注记中对各个证明做了比较和点评，评语切中肯綮，使人读了眼前一亮， 仿佛若有光。
例如，大概很少有人思考这一问题：为什么长除 法（最后可以得出（除法的）商和余数，伍教授在书中一个具体举例之后点评到：“长除法通过把原来的除法分解成一系列简单的带余除法，使得人们可以简单地 甚至是机械地求出商和余数。”这就点明了长除法的实质！
又如，在第 27 章从定义出发直接证明了“去括号” 法则以后，我们可以读到以下
注记学生推导“去括号”法则的通常方法是“乘以 ?1 并应用分配律”，亦即，
这个计算是正确的，但是对于“去括号”法则的证明来说却显得有些繁琐。上述计算应用了下述事实，即，对于所有的有理数 x 有 (?1)x = ?x。这是关于有理数乘法的一个事实，要在讲有理数的乘法时才能证明。然而，对“去括号”法则的一个概念上的理解需要认识到，它们仅仅与有理数的加法和减法有关，而与乘法无关。因此，“去括号”法则的一个更直接的证明是很有价值的。
这个注记表明，“去括号”法则的实质并非我们通常误以为的“乘以 ?1 并应用分配律”，而是最基本的有理数加减法（乘法的概念是不需要的）。
古人云：良工不示人以朴。（本意是，好的木匠不 把未加工好的东西给人看。比喻有贤德的人一定要把 人培养成材或所做的事一定要完美。朴：没有细加工 的木材。）近代著名数学家许宝騄（1910–1970）则推崇在教学上要做到“良工示人以朴”，他的意思是，要把原始的、真实的思想讲解给学生，而在形式上、在证明 方法上要力求简明扼要而无冗言赘文。简而言之，就是以朴素的方式说清楚本质。按照这一说法，伍教授确实做到了“示人以朴”。
六、内容新颖：中小学数学基本假设和初等数论的引入。
伍教授还注意到，在中小学数学中，有一个基本假设不可或缺，这就是他所命名的中小学数学基本假设。 这是他对中小学数学教材的一个重大贡献，他在《数学家讲解小学数学》中用了整整一章（第 21 章）的篇幅讨论这个假设。
中小学数学有意避开讨论无理数，但却试图假装处理了包括有理数和无理数在内的所有实数，这一事实直到 2001 年的文献中似乎还没有明确说清楚。
从普通的教科书中可以推断出，这些教材隐含地要求学生掌握下面的假设，我们建议称作中小学数学基本假设：分数的所有代数运算的结论都可以推广到全体实数。
这是一个洞察很深刻的假设。它允许学生像处理分数一样处理无理数，即使不知道无理数是什么。因此有的学生不经思考就能够写出下面一类典型的式子：
或
他们仍然会用分配律证明第一个式子，用交换律证明第二个式子。尽管每条定律或等式我们都只在分数的情形下进行了证明。换句话说，中小学数学基本假设潜在地发挥著作用。
此外，伍教授还用整整一个部分（第四部分）介绍 了初等数论的基本内容。正如前面已经提到的，相对 于其他部分而言，初等数论这一部分是本书选材上的
最大突破。伍教授认为，中小学的数学教师必须了解 一些数论，特别是以下两点：
第一：一些较小的整数的整除性规律。例如，为 什么判断一个整数能否被 3 整除只需要看它的各位数字之和能否被 3 整除。然而，只要讨论整除性，就不得不提到质数以及它们的简单性质，就需要了解初等数 论。
第二：为什么分数可以化简为最简分数，以及哪 些分数可以化为有限小数。这两个问题的回答分别由 以下两个定理给出（见【19】）。
定理每一个分数可以通过约去分子和分母的最大公因子得到最简分数。而且其最简分数在下述意义下是唯一的，如果
定理一个最简分数可以化为一个有限小数的充分必要条件是分母 b 具有形式
但是，如果不知道欧几里得算法和算术基本定理， 就无法证明上述两个定理。伍教授一再强调，虽然学生可能没有足够的时间学习这么多的数论知识，但是， 每一位中小学数学教师都应该学会如何使用欧几里得算法和算术基本定理，并且要了解其证明。
有一点值得在此特别指出，初等数论中的许多基本事实都可以从欧几里得算法得到，而欧几里得算法的实质则是一连串的带余除法（在这一点上，与长除 法极为相似）。因此可以认为，初等数论的很多结果是 带余除法的自然延伸。事实上，伍教授在介绍第四部 分时这样说：本书的这一部分或许可以视为“对带余除法中余数的重要性的一个反思”。因此，对于那些从来不曾接触初等数论的读者来说，读到这一句就好比吃了一颗定心丸：打开这一秘门的钥匙，其实是我们 所熟悉的带余除法。
七、误区分析与教学评论。
伍教授在书中指出：
作为老师，你不仅仅要认识到什么是对的，更重要的是要认识到什么是错的，这样才能给予学生正确的指导。
书中对于中小学数学中师生的常见误区作了深入的分 析，这是本书的一大亮点，对教学具有极为重要的价 值。例如，第 18 章用一节的篇幅探讨了分数除法的教学中的几种错误观点。
此外，书中还穿插有多处教学评论，例如第 39 章复习有限小数时我们可以读到以下
教学评论按定义，一个有限小数是一个以
八、注重历史：回顾与前瞻并重。
伍教授在书中对历史上许多著名的成就和问题都有简要的介绍，比如说，埃拉托色尼筛法、毕达哥拉斯 三元数组、欧几里得算法和哥德巴赫猜想 等等，甚至对数的乘法以及单位“米”的历史演化也有简单的介绍。同时，对某些古老问题的近代进展也有提及，例 如，维格纳朵夫(I. M. Vinogradov) 和陈景润各自对哥德巴赫猜想所作的贡献，甚至提到了陶哲轩 (Terence Tao) 与格林 (B. Green) 2004 年关于质数分布的工作。这让我们回想起数学家塞尔的建议（见【7】）：
要让学生明白，数学是活生生的，而不是僵死的（学生有这样一种倾向，认为只有在物理学或生物学中才有未解决的问题）。讲授数学的传统方法有一个缺陷，就是教师从来不提这类未解决的问题。例如，数论中就有许多诸如此类的问题，十几岁的孩子就能很好地理解它们。这当然包括费尔马大定理（塞尔说这话的时候它还没有被证明），哥德巴赫猜想，以及关于存在无穷多个形如
无独有偶，陈省身先生在【28】中所表达的看法（见本文标题下的引言）与塞尔的上述观点遥相暗合、 有如共鸣，值得引起我们活跃在一线的中小学数学教师特别注意。
伍教授在书中也介绍了中国古代数学的一些伟大成就，例如，第一章记数法中就介绍了源于古代中国 的十进制位值制。伍教授甚至认为，十进制或许是中 国对世界数学的最大贡献。第一次听到这个说法的人 或许会觉得不可思议。事实上，我们可以在精通中国古代数学史的著名数学家吴文俊那里找到更为肯定的说法（见【13】）：
进行算术运算，首先要有一个可以表示出任意大的整数的方法。在中国古代，就为此而创立了完整的 10 进位位值制。世界古代各个名族，都有不同形式不同程度的进位制记数法，如巴比伦的 60 进位制，埃及与希腊的 10 进位制以及中美与南美玛雅民族的 20 进位制等。但是他们的进位制有时是不完全的，更谈不上位值制。至于印度， 至少在 6 世纪以前，其以位值制的记数法， 还没有发现过。
……位值制的数字表示方法极其简单， 因此也掩盖了它的伟大功绩。它的重要作用与重要意义非但为一般人所不了解，甚至众多数学家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出位值制应在一切有用的发明中列于首位。中国民族是这一发明当之无愧的发明 者。中华民族应以创造出这一发明而引以自豪。
吴文俊先生下面的一段话（见【25】）完全肯定了中国古代数学文明对当代中小学数学的贡献：
中小学数学中的算术、代数这些部分， 从记数以至解联立线性方程与二次方程，实质上都是中国古代数学家的发明创造，早就见之于中国的《九章算术》甚至是更早的《周髀算经》等书。根据钱宝琮考证，《九章算术》完成于公元 50-100 年间。但除个别片段以外，基本内容应该完成于公元前200 年或者更早一些（这是某些西方数学史家的意见。有的甚至提到公元前 1000 年，
例如 Scott 的著作《数学史》，1958 年）。根据钱宝琮考证，另一部《周髀算经》成书于公元前 100 年左右。
根据这一说法，中小学数学的大部分内容都可以在中国古代找到源头，因此，在我们的中小学课堂上， 应该尽可能地将这些中国古代数学成就融入进来。正如著名的数学史专家、数学史名著《古今数学思想》的作者克莱因 (M. Klein)在接受访问时一再强调的（见【1】）：
中学和大学里的每一位数学教师都应了解数学史。理由很多，但是最重要的一个原因或许是，数学史乃是指导教育的指南。
……历史可以在教学中扮演重要的角色。例如，如果告诉初学微积分的学生们： 尽管牛顿和莱布尼兹是名声显赫的前辈， 但是他们自己也没有能够透彻地理解微积分的许多概念，数学家们经过了大约 200 多年的努力，才把这些概念搞清楚；那么当学生们开始时不能很好地理解这些概念， 也就不至于感到迷惘。相反的，他们将得到鼓舞而继续学下去。历史还有许多其它的教育价值。
在我们的情形而言，如果中小学生能够了解到，课 本上种种美妙的数学（勾股定理、辗转相除法、以至于 中国剩余定理）竟是从几千年之前的老祖宗传承下来 的，那么他对数学的兴趣和信心一定大增。
九、记号恰当、排版美观。
所有的记号都经过了精心的选择。书中凡是用代 数运算式定义的概念，都使用了符号 = ，而且所定义的概念用黑体标出。例如，第 27 章对有理数的减法定义如下：
又如，为了显示出带余除法中商与余数，本书采取了加方框标记的方法，例如 25 除以 6 的带余除法表达为
这一记号比通常出现在美国中小学教材的记号（见下 文）优越多了。对此，伍教授说道：
在中小学数学里，25 与 6 作带余除法， 所得商为 4 余数为 1，通常写作
应当把这种记号剔除出所有的教科书，有很多原因，其中一条是，它没有任何意义。从最基本的角度看，如果允许写 25 ÷ 6 = 4 R 1，那么我们也不得不写出 21 ÷ 5 =4 R 1，因此，25÷6 = 21÷5，因为它们都等于 4 R 1。可是，“四组物体，每组 5 个，还余 1 个”与“四组物体，每组 6 个，还余 1 个”，怎么能一样呢？此外，我们还可以通过理解等号的意思来更深入地讨论 4 R 1 的意思。我们已经把两个自然数相等定义为数在线的对应点重合，但是 25÷6 和 4 R 1，哪个都不是自然数，所以它们之间的等号只是在拙劣地挪用记号。即使我们承认一般的分数和实数（见第二部分，特别是第 12 章和第 21 章），等式 25÷6 = 4 R 1 仍然不具有任何意义，因为 4 R 1 不代表任何数。带余除法的正确的表示方式是“25 = (4 × 6) + 1”，
这才是教师真正应该带到课堂上的东西。
全书采用功能强大的 Tex 软件排版，数学公式非常美观。第一次出现的数学名词以及相应的记号，作 者以黑体标出；运算法则、方法或者是结论类型的段 落，缩进成段以示强调。特别是，某些证明经过作者的 精心排版之后变得一目了然（例如第四款所举的“负负得正”的证明之排版），这样的排版可以作为课堂板书之规范。
十、举例典型、习题丰富。
该书的一个重要特点是，选取了大量具体的典型 实例来左证其观点。比如，在第 23 章一些有趣的应用题中，伍教授引用了俄国的两道题目作为例题：
问题新鲜的黄瓜中，全部重量的 99% 都是水分。现将 300 磅黄瓜置于储藏室里， 但是等拿到市场卖的时候，人们发现水分的重量只剩下了 98%，请问水分挥发之后的这些黄瓜重量是多少？
问题有一瓶红酒和一壶茶水，先从茶水中盛一勺倒入红酒中，均匀搅拌后再盛一勺倒回茶水中。请问此时瓶中含有的茶水和壶中含有的红酒，哪个更多？如果没有搅拌均匀，情况又会怎样？
这两道题目出现在第 22 章比例和比率之后，因为它们既可以用分数的比例方法做，又可以用常识解释， 从而可以让学生对如何正确使用比例计算有很好的理解。
古人云：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”解题可以认为是一个实践活动，以衡量读者是否掌握了所学理论。伍教授在每章后面都精心安排了许多基础而新颖的习题，对正文是一个很好的补充。此外，全书中穿插了许多动动手，这些都是基础而简单的练习， 可用于随堂检测与巩固。（未完待续）
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[21] H. Wu， Mathematics of the Secondary School Curriculum I, II, III，（2018 年将出版）。
[22] H. Wu，Phoenix Rising-Bring the Common Core State Mathematics Standard to Life， American Educator，Fall 2011，pp. 3–13. 中译文《凤凰涅盘——让核心数学标准焕发生机》，赵洁译，《数 学通报》，2012 年第4期，p1。
[23] H.Wu，Mis-education of Methematics Teacher，Notices of AMS，58(2011), No.3, pp372-384. 中译文《数学教师的错误教育》，李晓莉译，《数学译林》，2012 年第 2 期，p143–155。
[24] 吴大任，博洽内容、独特风格——介绍克莱因《高 观点下的初等数学》，《数学通报》，1989 年第 6 期，收入《吴大任教育与科学文集》，崔国良主编，南开大学出版社，2004年。
[25] 吴文俊，中国古代数学对世界文化的伟大贡献， 收入《吴文俊文集》，山东教育出版社，1986 年。
[26] 吴文俊，大国对数学教育应有的态度，《上海教 育》，2011 年 17 期。
[27] 袁隆平、辛业芸，《袁隆平口述自传》，湖南教育 出版社，2010 年。
[28] 张奠宙，陈省身谈中国数学教育，《高等数学研 究》，2005 年第 02 期。
[29] 张英伯，与伍鸿熙教授座谈摘要，《数学通报》，2006 年第 45 卷第 7 期，p1。
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