基于子集模拟方法的装配式预应力混凝土分体箱梁抗裂性可靠度分析

陈卫东 王铖铖

中交第二公路勘察设计研究院有限公司

摘 要：装配式预应力混凝土分体箱梁的抗裂可靠性会受到诸多不确定的因素影响，例如:腹板、底板的厚度及宽度的变化等等。针对工程上出现的失效概率分析的问题，往往可以采用蒙特卡罗法来进行分析。但蒙特卡洛法在小失效概率范围内效率较低，故提出了采用子集模拟法进行定量的分析，从而高效地确定这些因素对小箱梁抗裂性可靠度的影响。子集模拟法将小失效概率描述为一系列大条件概率的乘积，并以此来计算小失效概率。此次选取小箱梁的9个相关参数作为控制变量，利用薄壁结构力学的方法考察小箱梁截面应力，对各变量对整体抗裂可靠性影响进行了讨论分析并得出相关变化关系，并将计算结果与蒙特卡洛法进行对比。结果表明，子集模拟法在保证精度的基础上减少了功能函数的评估次数，说明了其更为有效的实用性，并为小箱梁的抗裂可靠性分析提供了相关理论支撑。

关键词：子集模拟;小箱梁;抗裂性;可靠度分析;马尔科夫链;

装配式预应力混凝土分体箱梁的抗裂性可靠性会受到诸多不确定的因素影响，例如:箱梁腹板、顶板、底板的厚度及宽度，或其弹性模量的变化等等。可以通过考虑这些因素并结合可靠度分析方法，将“可靠度指标”或“失效概率”应用于小箱梁抗裂性可靠度的分析中。通常采用的蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation Method)在小失效概率范围内效率较低，且需要较大计算量，有限元分析过程相对复杂，在实际工程中，特别是在复杂的大型桥梁工程中实现有一定的困难。

基于以上原因，本文提出采用子集模拟法(Subset Simulation Method)对小箱梁正截面抗裂可靠性进行定量的分析。子集模拟法，是指通过引入中间失效事件，将小失效概率转化成一系列较大的条件概率的乘积形式，从而高效地确定这些因素对小箱梁抗裂性可靠度的影响。

1 基于子集模拟方法的可靠度分析方法

对于实际工程中的小失效概率问题，我们一般采用蒙特卡罗方法进行分析，这种分析方法的基础是大量的模拟计算，例如，通过10p+2个样本点计算10-p的失效概率，确保变异系数满足e0≤0.2 t。针对小失效概率的计算问题，近年来发展了多种方差缩减技术。Au提出了一种有效计算小失效概率的适应性Markov Chain Monte Carlo方法———子集模拟方法(Subset Simulation,SS)，其基本原理是通过引入中间失效事件，将小失效概率转化成一系列较大的条件概率的乘积形式。

令F为最终的失效事件，引入一系列中间失效事件F1,F2，…，读Fm，且存在e0≤0.2t。可靠性分析中功能函数g(x)定义的失效事件为e0≤0.2t，其中e0≤0.2t为相应的失效门槛值e0≤0.2t，如图1所示。因此，失效概率e0≤0.2t可表示为P(F1)与各条件概率的乘积:

其中，令e0≤0.2t,e0≤0.2t，则公式(1)可表示为:

图1 子集模拟示意图 下载原图

由公式(2)可知，若Pi=0.1，则PF=10-m，如果采用蒙特卡洛法计算需要10m+2个样本，而采用子集模拟法计算仅需要103m个样本。故由上可知，通过引入中间失效事件，可以将小概率问题变为大条件概率的乘积，从而可以大大提高计算效率。

子集i+1的样本是通过落在子集i的失效域Fi的样本产生:

通常来说，gi可以通过自适应的方法来确定，使得每个子集的条件概率相等，从而确定其失效门槛。

2 可靠度分析参数的选取

2.1 参数选取

本文选取箱梁底板宽度b1、顶板宽度b2、翼缘宽度b3、底板厚度t1、腹板厚度t2、顶板厚度t3、翼缘厚度t4、箱梁梁高h和弹性模量E偏离等作为参数对该装配式预应力混凝土分体箱梁抗裂性进行分析。

2.2 箱梁的截面等效

为简化求解过程，通过等效形心和惯性矩的方法，将如图2所示的原箱梁截面等效为如图3所示的箱梁截面形式。

图2 原箱梁截面示意图 下载原图

图3 等效箱梁截面示意图 下载原图

2.3 薄壁结构应力分析

装配式预应力混凝土分体箱梁为薄壁构件，其弯曲一般是不对称的，所以不存在对称平面的梁的弯曲问题。在计算薄壁构件的弯曲问题时，同实体构件的弯曲计算一样，建立在平面假定的基础上。

根据薄壁结构力学理论，如图4所示的任意截面，o为形心，o-xyz为过形心的一组任意直角坐标。设沿ox、oy轴分别有弯曲Mx、My作用，以双箭矢量表示。弯矩以符合右手螺旋法则为正。设中性轴为oo’，截面上任意一点A处微面积d F的坐标是x、y，它到中性轴的距离为ξ，其有效弯矩

为:

图4 任意横截面薄壁杆件 下载原图

式中Ix、Iy为关于两个形心轴的惯性矩，Ixy为惯性积。

如图5所示的任意闭口截面薄壁杆件截面的外形轮廓线，设想在某A点将杆件沿母线切开，得一开口截面杆件。若以A点为曲线坐标的起点，截面中的剪力流按式计算，此时，(τδ)A≠0，而是某一未知量qA。闭口截面中的剪力流由两项组成，一项是切口后的开口截面中的剪力流q0，其剪力流在开口处为零，另一项是开口处作用的剪力流qA，它沿外形轮廓线是一常数。即

其中q0按式(18)的前两项计算，qA=(τδ)A为未知量。

由于实际上A点处并无切口，即A点两边的相对纵向位移为零。以此作为位移协调条件，可以求得qA。

图5 任意闭口截面薄壁杆件截面应力流 下载原图

图6表示一杆件中面微元发生剪切变形，由图可以看出:

图6 任意闭口截面薄壁杆件微元 下载原图

由此可得

设开口处A为s的起点，将上式沿轮廓线积分一周，再回到A点时，则有

将式(5)代入式(8)，并注意到qA与s无关，得

即

根据以上单室闭口截面薄壁杆件理论，运用基于Matlab平台自编写的有限元梁单元程序获取各个截面的弯矩、剪力及应力值。

2.4 求解应力分布

分别取箱梁顶板、腹板、腹板的端节点、1/2节点以及相关关键节点作为考察节点，如图7所示。

图7 箱梁截面考察节点示意图 下载原图

令Sx(i)(i=1，…，14)，将其设为将1处开口后的截面各考察节点剪应力流。运用有限元梁单元程序，计算各关键点应力流。

由上，则可得到输出的各点正应力及剪应力表达式:

3 试验验证分析

3.1 工程概况

所取试验梁为某市外环线快速通道的有机组成部分，桥梁跨越一条河流，结合桥位处地形及钻孔资料，桥梁上构采用(4×25)m一联预应力混凝土先简支后结构连续装配式组合箱梁，下构为柱式墩、肋板台，基础均为桩基础。桥梁起点桩号K15+400.5，终点桩号K15+507.5，全长107 m，按双向八车道高速公路设计，左、右幅桥宽均为16.50 m，设计时速100 km/h。

从已建项目施工过程中发现，小箱梁存在开裂的现象，综合施工等相关部门的报告发现，裂缝主要出现在以下几个位置:在距梁端约1/4处;箱梁底板与腹板结合部附近;部分与预应力管道走向基本一致处。小箱梁产生裂缝病害在实际工程中较常见，设计、施工、科研人员从多个方面对此类结构也进行了大量研究，但是到目前仍未得到很好的解决。利用本文所提出的基于子集模拟的小箱梁抗裂性可靠度分析方法来进行分析并与实际现象相对比。

3.2 构件数据分布的拟合优度检验

国标GB4882-85对3≤n≤50的完全样本所假设的分布是否符合正态分布的拟合优度检验采用Shapiro-Wirk检验。

式中，pi即参数中的第i个变量，μi为该变量的均值，δi为该变量的变异系数。

通过统计分析各个几何参数的特征值，并对几何参数进行了正态分布优度检验，结果如表1所示。

现以顶板厚度t3为例，对顶板厚度的测量值样本进行正态分布优度检验。

本次样本数量取为30，首先，将样本数据排列成次序统计量，按从小到大依次为:x(1),x(2)，…，x(n),n=30。

通过文献[7]附表16可查得相应n值的系数αk,n。

计算其统计量，由于n为偶数，因此l取15。

显著性水平α=0.05由参考文献附表17得W的临界值Zα为0.927。

则可做出如下判断:

因此，检验结果不拒绝，箱梁翼缘厚度宜用正态分布进行描述。同理，其余8个参数均可验证。

表1 各几何参数统计特性 下载原图

3.3 参数统计特性

选取底板宽度b1、顶板宽度b2、翼缘宽度b3、底板厚度t1、腹板厚度t2、顶板厚度t3、翼缘厚度t4、箱梁梁高h、弹性模量E，九个不确定性参数进行分析，在可靠度分析中，这九个不确定性参数分别用九个正态分布的随机变量来表示。其统计特征如表2所示。

表2 各参数的平均值和方差 下载原图

当截面最大的正应力和剪应力分别超过规定值σ和τ，则认为装配式预应力混凝土分体箱梁失效，该功能函数可以表示为:

其中，x=[b1,b2,b3,b4,t1,t2,t3,t4,h,E]，σ0为规范限值，σ(x)和τ(x)为装配式预应力混凝土分体箱梁截面的最大正应力和剪应力。

3.4 蒙特卡洛法可靠性分析

为了验证和对比子集模拟法的计算结果，本节对蒙特卡洛方法计算上述结构的可靠性进行了分析。分别通过计算102-6402次抽样情况的结果，且每种抽样次数均计算12次，根据计算结果观察其收敛性，最终得到分体箱梁正截面抗弯极限承载能力可靠度如表3～表5所示(只列举了3个参量部分)。

表3 底板厚度可靠度计算 下载原图

表4 腹板厚度可靠度计算 下载原图

表5 顶板厚度可靠度计算 下载原图

3.5 子集模拟法可靠性分析

采用子集模拟法对该试验梁进行可靠度分析，结果如表6所示。其中，Ncall为真实功能函数的评价次数，用来衡量可靠度的计算效率;Pf为结构的失效概率;δPF为结构失效概率的变异系数;εPF为失效概率与蒙特卡洛法计算结果的相对误差，用来衡量可靠度的计算精度。由表6可得，子集模拟方法所需的真实功能函数评估次数为8470次，少于蒙特卡洛法，且可靠度结果与后者的结果基本一致，误差在尚可接受的6%以内。

表6 试验梁可靠度分析结果 下载原图

图8为失效概率随着计算次数增加而在精确解上下进行一定的波动，其中绝大部分计算结果误差在10%以内，因此建议将上述失效概率的均值0.1307%作为最终的计算最终结果。

图8 SS方法计算失效概率随计算次数增加而变化 下载原图

图9为子集模拟法计算的失效概率变异系数对应真实功能函数评价次数的关系，可以得出，在Ncall达到8470次时，其变异系数达到最大值0.571。

由上述结果可知，在考虑结构可靠性分析中普遍存在的隐式极限状态方程和小失效概率特征的情况下，与MCS方法相比，采用SS方法可以在保证精度的基础上减少了功能函数的评估次数，说明了其更为有效的实用性，并为小箱梁的抗裂可靠性分析提供了相关理论支撑。

来源：交通科技